上极限和下极限的示意图。數列 x n 为蓝色。两个红色虛線曲线逼近數列 x n 的上极限和下极限。數列的上下極限相等若且唯若此數列收敛
在微积分学 中,上極限和下極限 (英語:Limit superior and limit inferior )是指數列極限 的上极限和下极限,可以大致想像為數列极限的上下界。舉例來說,數列
{
(
−
1
)
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{(-1)^{n}\}_{n=1}^{\infty }}
的上極限為 1,下極限為 -1。
函数 的上极限和下极限可以用类似方式考虑。[註 1] 。集合的上极限和下极限分别是这个集合的极限点 的上确界 和下确界 。
序列
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})}
的上极限定义是
lim sup
n
→
∞
x
n
=
inf
n
≥
0
sup
k
≥
n
x
k
=
inf
{
sup
{
x
k
:
k
≥
n
}
:
n
≥
0
}
{\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{k\geq n}x_{k}=\inf\{\,\sup\{\,x_{k}:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}}
;
或者
lim sup
n
→
∞
x
n
=
lim
n
→
∞
(
sup
m
≥
n
x
m
)
{\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sup _{m\geq n}x_{m}\right)}
。
同样的,序列
x
n
{\displaystyle x_{n}}
的下极限定义是
lim inf
n
→
∞
x
n
=
sup
n
≥
0
inf
k
≥
n
x
k
=
sup
{
inf
{
x
k
:
k
≥
n
}
:
n
≥
0
}
{\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{k\geq n}x_{k}=\sup\{\,\inf\{\,x_{k}:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}}
;
或者
lim inf
n
→
∞
x
n
=
lim
n
→
∞
(
inf
m
≥
n
x
m
)
{\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\inf _{m\geq n}x_{m}\right)}
。
这些定义在任意的偏序集 都适用,只需要上确界 和下确界 存在。
在完全格 裡,上确界和下确界总是存在,所以其中的序列一定有上极限和下极限。
每当
lim inf
x
n
{\displaystyle \liminf x_{n}}
和
lim sup
x
n
{\displaystyle \limsup x_{n}}
都存在,那么
lim inf
n
→
∞
x
n
≤
lim sup
n
→
∞
x
n
{\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}}
。
上极限和下极限也记为
lim
¯
n
→
∞
x
n
{\displaystyle \varlimsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}}
和
lim
_
n
→
∞
x
n
{\displaystyle \varliminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}}
。
实数集 R 的数列 对微积分 很重要。R 不是完備格 ,但可以加入正负无穷 以得到完備全序集
[
−
∞
,
+
∞
]
{\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}
,形成完備格 。那么在
[
−
∞
,
+
∞
]
{\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}
中数列
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})}
收敛 当且仅当
lim inf
x
n
=
lim sup
x
n
{\displaystyle \liminf x_{n}=\limsup x_{n}}
,而这时
lim
x
n
{\displaystyle \lim x_{n}}
等于上面的共同值。[註 2]
若實數數列
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})}
的上極限為實數[註 3] ,那麼上極限是最小的實數 a ,使得對任意小的正實數
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
,都存在足夠大的正整數 N ,使得對所有
n
≥
N
{\displaystyle n\geq N}
,都有
x
n
<
a
+
ϵ
{\displaystyle x_{n}<a+\epsilon }
。換言之,對任何大於上極限的實數,都存在 N 使得這實數是數列
(
x
n
)
n
≥
N
{\displaystyle (x_{n})_{n\geq N}}
的上界 。
若實數數列
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})}
的下極限為實數,那麼下極限是最大的實數 b ,使得對任意小的正實數
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
,都存在足夠大的正整數 N ,使得對所有
n
≥
N
{\displaystyle n\geq N}
,都有
x
n
>
b
−
ϵ
{\displaystyle x_{n}>b-\epsilon }
。換言之,對任何小於下極限的實數,都存在 N 使得這實數是數列
(
x
n
)
n
≥
N
{\displaystyle (x_{n})_{n\geq N}}
的下界 。
設
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})}
是整數數列。若其上極限為實數 a ,由於
⌊
a
⌋
{\displaystyle \lfloor a\rfloor }
也符合上述條件,故此 a 必是整數。[註 4] 在條件中取
ϵ
<
1
{\displaystyle \epsilon <1}
,得出 a 是最小的實數,使得存在正整數 N ,對所有
n
≥
N
{\displaystyle n\geq N}
,都有
x
n
≤
a
{\displaystyle x_{n}\leq a}
。因此 a 是最大的整數,使得有無限個
x
n
=
a
{\displaystyle x_{n}=a}
。同樣地,若其下極限為實數 b ,則 b 是最小的整數,使得有無限個
x
n
=
b
{\displaystyle x_{n}=b}
。
若
I
=
lim inf
x
n
{\displaystyle I=\liminf x_{n}}
和
S
=
lim sup
x
n
{\displaystyle S=\limsup x_{n}}
,那么区间
[
I
,
S
]
{\displaystyle [I,S]}
不一定包含任何的
x
n
{\displaystyle x_{n}}
,但是轻微扩大了的 [I-ε,S+ε]
对任意小的ε > 0都会包含除了有限项外所有的 x n 。区间 [I , S ] 是适合这个性质的最小闭区间。
設
x
n
=
(
−
1
)
n
(
1
+
1
n
)
{\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}
,則
lim inf
x
n
=
−
1
{\displaystyle \liminf x_{n}=-1}
,
lim sup
x
n
=
1
{\displaystyle \limsup x_{n}=1}
。閉區間[-1, 1]中不包含任何
x
n
{\displaystyle x_{n}}
。
考虑数列
x
n
=
sin
n
{\displaystyle x_{n}=\sin \!n}
。应用π 的无理数 性质,可以证明
lim inf
x
n
=
−
1
{\displaystyle \liminf x_{n}=-1}
和
lim sup
x
n
=
+
1
{\displaystyle \limsup x_{n}=+1}
。[註 5]
lim inf
n
→
∞
(
p
n
+
1
−
p
n
)
{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})}
其中
p
n
{\displaystyle {p_{n}}}
是第
n
{\displaystyle n}
个素数 。[註 6]
集合 X 的冪集 P (X )是完備格 。对于P (X )中的序列,也就是X 的子集的序列,其上下极限也有用处。
若
X
n
{\displaystyle X_{n}}
是这样的序列,那么X 的元素a 属于
lim inf
X
n
{\displaystyle \liminf X_{n}}
,当且仅当存在自然数
n
0
{\displaystyle n_{0}}
使得对于所有
n
>
n
0
{\displaystyle n>n_{0}}
,a 在
X
n
{\displaystyle X_{n}}
裡。元素a 属于
lim sup
X
n
{\displaystyle \limsup X_{n}}
,当且仅当对所有自然数
n
0
{\displaystyle n_{0}}
,都存在一个指数
n
>
n
0
{\displaystyle n>n_{0}}
使得a 在
X
n
{\displaystyle X_{n}}
裡。换句话说,
lim sup
X
n
{\displaystyle \limsup X_{n}}
包含了所有这样的元素,其中的每一个,都有无限多个n ,使得它在集合
X
n
{\displaystyle X_{n}}
裡;而
lim inf
X
n
{\displaystyle \liminf X_{n}}
包含了所有这样的元素,其中的每一个,都有除了有限多个外的所有n ,使得它在
X
n
{\displaystyle X_{n}}
裡。
以集合论的标准语言来说,一个集合序列的下确界是这些集合的可数交,也就是包含在所有集合裡的最大集合:
inf
{
X
m
:
m
=
1
,
2
,
3
,
…
}
=
⋂
m
=
1
∞
X
m
{\displaystyle \inf \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcap _{m=1}^{\infty }}X_{m}}
。
令
I
n
{\displaystyle I_{n}}
为自
X
n
{\displaystyle X_{n}}
起的集合的下确界。那么序列
I
n
{\displaystyle I_{n}}
非递减,因为
I
n
⊂
I
n
+
1
{\displaystyle I_{n}\subset I_{n+1}}
。所以,第1至n 个下确界的并集就是第n 个下确界。下极限就是这序列的极限:
lim inf
n
→
∞
X
n
=
⋃
n
=
1
∞
(
⋂
m
=
n
∞
X
m
)
{\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)}
。
上极限可以相反方式定义。一个集合序列的上确界是包含这些集合的最小集合,也就是它们的可数并:
sup
{
X
m
:
m
=
1
,
2
,
3
,
…
}
=
⋃
m
=
1
∞
X
m
{\displaystyle \sup \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcup _{m=1}^{\infty }}X_{m}}
。
上极限是这个非递增的上确界序列的可数交(其中每个上确界都包含在前一个裡面)。
lim sup
n
→
∞
X
n
=
⋂
n
=
1
∞
(
⋃
m
=
n
∞
X
m
)
{\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)}
。
例子或应用可见波莱尔-坎泰利引理 ,柯西-阿达马公式 (Cauchy-Hadamard Formula)。
Amann, H.; Escher, Joachim. Analysis. Basel; Boston: Birkhäuser. 2005. ISBN 0817671536 .
González, Mario O. Classical complex analysis. New York: M. Dekker. 1991. ISBN 0824784154 .