中心化子和正规化子
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群论中,一個群 的子集 的中心化子和正规化子是 的子群。它们分别在 的元素和作为一个整体 有受限制的作用。这些子群给出了关于 的结构的有用信息。我們可以倚靠這些群的資訊,在有限群的分類中,得出一些群 的一些內在訊息
定義
[编辑]中心化子
[编辑]令 為一個群, , 我們定義一個集合蒐集所有在 中與每一個 中的元素 可交換的元素,我們記做 ;換句話說,。若 為 的子群,则。
特別的,當 ,我們會簡化 。
群的中心
[编辑]群的中心是,通常记作 。一个群的中心既是正规子群也是交换群,而且有很多其它重要属性。我们可以将a的中心化子视作最大的(用包含关系为序)G的子群H,满足a属于其中心Z(H)的条件。
正规化子
[编辑]一个相关的概念是,S在G中的正规化子,记作NG(S)或者N(S)。正规化子定义为N(S) = {x属于G : xS = Sx}。同样的是,N(S)可以视作G的子群。正规化子的名字来源于如果我们令<S>为一个由S生成的子群,则N(S)是最大的满足包含<S>为其正规子群的G的子群。<S>在其中为正规子群的最小的G的子群称为共軛閉包。
如果NG(H) = H,则G的子群H称为G的自正规化子群。
性质
[编辑]若G是交换群,则任何G的子集的中心化子和正规化子就是G的全部;特别是,一个群可交换,当且仅当Z(G) = G。
若a和b是G的任意元素,则a在C(b)中,当且仅当b在C(a)中,这有当且仅当a和b可交换。 若S = {a}则N(S) = C(S) = C(a)。
C(S)总是N(S)的正规子群:若c属于C(S)而n属于N(S),我们要证明n −1cn属于C(S)。为此,取s属于S并令t = nsn −1。则t属于S,所以ct = tc。注意到ns = tn;以及n −1t = sn −1。我们有
- (n −1cn)s = (n −1c)tn = (n −1(tc)n = (sn −1)cn = s(n −1cn)
这也就是要证明的命题。
若H是G的子群,则N/C定理表明因子群N(H)/C(H)同构于Aut(H)(H的自同构群)的子群。
因为NG(G) = G,N/C定理也意味着G/Z(G)同构于Inn(G)(由所有G的内自同构组成的Aut(G)的子群)。
如果我们通过T(x)(g) = Tx(g) = xgx −1定义群同态 T : G → Inn(G),则我们可以用Inn("G")在G上的群作用来表述N(S)和C(S):S在Inn(G)中的定点子群就是T(N(S)),而Inn(G)中固定S的子群就是T(C(S))。
共軛類方程
[编辑]若G为有限群,考慮G共軛到自身的群作用,並應用軌道-穩定點定理,
G的核為
G的軌道為
類方程:
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