中線定理,又稱阿波羅尼奧斯定理,是歐氏幾何的定理,表述三角形兩邊和中線長度關係。它等價於平行四邊形恆等式。
對任意三角形
,設
是線段
的中點,
為中線,則有如下關係:
用萊布尼茨標量函數約簡,可以容易導出這性質:只需要在兩個平方中引入
:
![{\displaystyle |{\vec {AB}}|^{2}+|{\vec {AC}}|^{2}=\left|{\vec {AI}}+{\vec {IB}}\right|^{2}+\left|{\vec {AI}}+{\vec {IC}}\right|^{2}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f78b27b948961a03a5b02c0b7ef9447a06afaa)
得出
![{\displaystyle |{\vec {AB}}|^{2}+|{\vec {AC}}|^{2}=|{\vec {AI}}|^{2}+|{\vec {IB}}|^{2}+2{\vec {AI}}\cdot {\vec {IB}}+|{\vec {AI}}|^{2}+|{\vec {IC}}|^{2}+2{\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {IC}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4f9f41220e72f5602b4c723d405fcb445a10475)
是
的中點,因此
和
相反,可知式中兩個標積抵消。又因
,得出
![{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {AI}}^{2}+2{\overline {IB}}^{2}\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5395843d19f634111d2856600e4a6b22190a21f)
這可能是阿波罗尼奥斯的證明方法,因為他不知道萊布尼茨函數。證明如下:
設
是從
到
的垂足,則
和
是直角三角形。用勾股定理可得
![{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {BH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1636aa2bdbf6d5e39da69484fa46916608480b)
![{\displaystyle {\overline {AC}}^{2}={\overline {AH}}^{2}+{\overline {HC}}^{2}\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c54a65f2d8f436e17d3febe16ad49be189f368ed)
![{\displaystyle {\overline {AI}}^{2}={\overline {IH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/744660a8bad8ef30f86ebdad4fe8f21a9959e591)
所以
![{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BH}}^{2}+2{\overline {AH}}^{2}+{\overline {HC}}^{2}\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06be6adb080bbf705a681667df94317c6850e934)
把
和
用
和
表達出來(記得
是
的中點,因此
)。注意到雖然現在的情形假設
在線段
上,但其
他情形也可以用這個方法。
![{\displaystyle {\overline {BH}}={\overline {BI}}-{\overline {IH}}\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d489dfaf5d5d0bf42d37d9e3c59eded84a1e339b)
![{\displaystyle {\overline {HC}}={\overline {IC}}+{\overline {IH}}={\overline {BI}}+{\overline {IH}}\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a493a2d236a906b50862b133560646af792e3b)
代入前式:
![{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=({\overline {BI}}-{\overline {IH}})^{2}+2{\overline {AH}}^{2}+({\overline {BI}}+{\overline {IH}})^{2}\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68105c61cafaee48664e7afa852d718ba1f3ab54)
![{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BI}}^{2}-2{\overline {BI}}\cdot {\overline {IH}}+{\overline {IH}}^{2}+2{\overline {AH}}^{2}+{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {BI}}\cdot {\overline {IH}}+{\overline {IH}}^{2}\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/964d511bbc7f7c5df13f721e89bde6a0c5400687)
![{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {IH}}^{2}+2{\overline {AH}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2({\overline {IH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2})\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57d96843aaefd1a026672fb3c187e19d78f003c6)
是直角三角形(H為
於
之垂足)
,因此
![{\displaystyle {\overline {IH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}={\overline {AI}}^{2}\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7916841e877699eaeec91e26223a392c418ff591)
代入前式得出
![{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {AI}}^{2}\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50318adba1ccfb0b2e83e0cf274581b402304e90)
設
是線段
的中點,則有
用標積表示
,其中
是
到線
的垂足。
從上得到中線的另一條定理
。
實際上
![{\displaystyle AB^{2}-AC^{2}=({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}})\cdot ({\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {AC}})=2{\overrightarrow {AI}}\cdot ({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {CA}})=2{\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {CB}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14c0dd3a27f710edba1fc29df7be64560c90f9a)
投影在
上是
,因而有
.
這兩個共線向量的標積可等於
或其負數,因此取絕對值。