线性代数
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
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数学上,克罗内克积(英語:Kronecker product)是两个任意大小的矩阵间的运算,表示为⊗。简单地说,就是将前一个矩阵的每个元素乘上后一个完整的矩阵。克罗内克积是外积从向量到矩阵的推广,也是张量积在标准基下的矩阵表示。
尽管没有明显证据证明德国数学家利奥波德·克罗内克是第一个定义并使用这一运算的人,克罗内克积还是以其名字命名。在历史上,克罗内克积曾以Johann Georg Zehfuss名字命名为Zehfuss矩阵。
如果A是一个 m × n 的矩阵,而B是一个 p × q 的矩阵,克罗内克积
则是一个 mp × nq 的分块矩阵
![{\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d988a3517aac77a5dd5626582d74803852341dca)
更具体地可表示为
![{\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2af3edbee3ac40f8dabe74c179ddde906b1b195)
我们可以更紧凑地写为
.
克罗内克积是张量积的特殊形式,因此满足双线性与结合律:
![{\displaystyle A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C\qquad {\mbox{(if }}B{\mbox{ and }}C{\mbox{ have the same size)}},}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/843b04dd252c8d30a5bf5779c51db6765939b719)
![{\displaystyle (A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C\qquad {\mbox{(if }}A{\mbox{ and }}B{\mbox{ have the same size)}},}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3f2c0f24686ed8aa6629f99cdebb9a755341716)
![{\displaystyle (kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B),}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7363aeb0528c315411eb17f25695ef9a3aa75436)
![{\displaystyle (A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C),}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa7fa242808fa6c3add667a9da9e55de122b8339)
其中,A, B 和 C 是矩阵,而 k 是常量。
克罗内克积不符合交换律:通常,A ⊗ B 不同于 B ⊗ A。
A ⊗ B和B ⊗ A是排列等价的,也就是说,存在排列矩阵P和Q,使得
![{\displaystyle A\otimes B=P\,(B\otimes A)\,Q.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ffc00b74c134b2d6f94610ffe87d9fd749b406)
如果A和B是方块矩阵,则A ⊗ B和B ⊗ A甚至是排列相似的,也就是说,我们可以取P = QT。
如果A、B、C和D是四个矩阵,且矩阵乘积AC和BD存在,那么:
![{\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=\mathbf {AC} \otimes \mathbf {BD} .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4311b6d84711d0e6cdedf4f59990c3c688a72557)
这个性质称为“混合乘积性质”,因为它混合了通常的矩阵乘积和克罗内克积。于是可以推出,A
B是可逆的当且仅当A和B是可逆的,其逆矩阵为:
![{\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}\otimes \mathbf {B} ^{-1}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c48e625fe0276fc8275fc3a3a6f3c1d4d9439d6)
如果A是n × n矩阵,B是m × m矩阵,
表示k × k单位矩阵,那么我们可以定义克罗内克和
为:
![{\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} =\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m}+\mathbf {I} _{n}\otimes \mathbf {B} .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dda9b519e5de4afaf84481d236a2107ec1cad337)
假设A和B分别是大小为n和q的方块矩阵。设λ1,……,λn为A的特征值,μ1,……,μq为B的特征值。那么A
B的特征值为:
![{\displaystyle \lambda _{i}\mu _{j},\qquad i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,q.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad62df2841b8d5788c8c2a10856d9496eda51f8)
于是可以推出,两个矩阵的克罗内克积的迹和行列式为:
![{\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} \mathbf {A} \,\operatorname {tr} \mathbf {B} \quad {\mbox{and}}\quad \det(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=(\det \mathbf {A} )^{q}(\det \mathbf {B} )^{n}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a3a82b234609909eb354c64b08716dae6ee8357)
如果A和B是长方矩阵,那么我们可以考虑它们的奇异值。假设A有rA个非零的奇异值,它们是:
![{\displaystyle \sigma _{\mathbf {A} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} }.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea81a09cf2f1d3eda4d9927ddc4045b44f00adf9)
类似地,设B的非零奇异值为:
![{\displaystyle \sigma _{\mathbf {B} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dfd36e0c82f87a0672335681b0c4032076e6939)
那么克罗内克积A
B有rArB个非零奇异值,它们是:
![{\displaystyle \sigma _{\mathbf {A} ,i}\sigma _{\mathbf {B} ,j},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} },\,j=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb49e17a6dff960b2c731f51acf689ee480b0f4)
由于一个矩阵的秩等于非零奇异值的数目,因此我们有:
![{\displaystyle \operatorname {rank} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {rank} \mathbf {A} \,\operatorname {rank} \mathbf {B} .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0701091c48d5bbdaf0683f76024e9c02ebe5e908)
矩阵的克罗内克积对应于线性映射的抽象张量积。特别地,如果向量空间V、W、X和Y分别具有基{v1, ... , vm}、 {w1, ... , wn}、{x1, ... , xd}和{y1, ... , ye},且矩阵A和B分别在恰当的基中表示线性变换S : V → X和T : W → Y,那么矩阵A ⊗ B表示两个映射的张量积S ⊗ T : V ⊗ W → X ⊗ Y,关于V ⊗ W的基{v1 ⊗ w1, v1 ⊗ w2, ... , v2 ⊗ w1, ... , vm ⊗ wn}和X ⊗ Y的类似基。[1]
两个图的邻接矩阵的克罗内克积是它们的张量积图的邻接矩阵。两个图的邻接矩阵的克罗内克和,则是它们的笛卡儿积图的邻接矩阵。参见[2]第96个练习的答案。
克罗内克积转置运算符合分配律:
![{\displaystyle (A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f456ee0c2675fbaacafaaddfc9e5a5d90e477450)
克罗内克积可以用来为一些矩阵方程得出方便的表示法。例如,考虑方程AXB = C,其中A、B和C是给定的矩阵,X是未知的矩阵。我们可以把这个方程重写为
![{\displaystyle (B^{T}\otimes A)\,\operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (AXB)=\operatorname {vec} (C).}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd090b644bde3b25c38d83e11726b438349718c1)
这样,从克罗内克积的性质可以推出,方程AXB = C具有唯一的解,当且仅当A和B是非奇异矩阵。(Horn & Johnson 1991,Lemma 4.3.1).
在这里,vec(X)表示矩阵X的向量化,它是把X的所有列堆起来所形成的列向量。
如果把X的行堆起来,形成列向量x,则
也可以写为
(Jain 1989,2.8 block Matrices and Kronecker Products)。
- ^ Pages 401–402 of
- ^ D. E. Knuth:
"Pre-Fascicle 0a: Introduction to Combinatorial Algorithms" (页面存档备份,存于互联网档案馆), zeroth printing (revision 2), to appear as part of D.E. Knuth: The Art of Computer Programming Vol. 4A
- Horn, Roger A.; Johnson, Charles R., Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-46713-6 .
- Jain, Anil K., Fundamentals of Digital Image Processing, Prentice Hall, 1989, ISBN 0-13-336165-9 .