初等代數是一個初等且相對簡單形式的代數,教導對象為還沒有數學和算術方面较深知識的中小学生,大学学习的则称为高等代数。當在算術中只有數字与其運算(如:加、減、乘、除)出現時,在代數中也會使用字母符號诸如
、
或
、
等表示數字,习惯上用前者表示未知数与變數,用后者表示任意的已知数。
初等代數中还会使用诸如
、
、
、
等映射符号来表示关于某个字母符号的代数式。
* 它使得算術等式(或不等式)可以被描述成命题或定理(如:
实数
和
,
),因此這是系統化學習實數性質的第一步。
- 它允許涉及未知的數字。在一個問題的內容裡,變數或許代表某一還不確定,但可能可以經由方程的規劃及操縱來解開的數值。
- 它允許探究數量之間的數學關係的可能(如「若你賣了
張票,你的收益將有
元」)。
這三個是初等代數的主要組成部份,以區隔其與目的為教導大學生更高深主題的抽象代數的不同。[原創研究?]
在初等代數裡,表示式包含有數字、變數及運算。它們通常把較高次項(習慣上)寫在表示左邊(參考多項式),舉幾個例子來說:
![{\displaystyle x+3}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8b799ed61638e20ff904ab2b65a8564f4e27a1f)
![{\displaystyle y^{2}+2x-3}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04c5e525b5508a005e341ece9c7843e2dfb34bd5)
。
在更進階的代數裡,表示式也會包含有初等函數。
一個等式表示其等號兩邊的表示式是相等的。某些等式對於其中變數的所有取值都成立(如
);這種等式稱為恆等式。而其他只有變數在某些值時才正確(如
),此一使等式成立的變數值則稱為這等式的解。
- 加法是一可交換的運算(兩個數不論順序為何,它加起來的總和都一樣)。
- 減法是加法的逆運算。
- 減去一個數和加上一個此數的負數是一樣意思的:
![{\displaystyle a-b=a+(-b)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03e1ad2ad4d5dbbd763ad4c40a0d7bf250cd208)
- 例如:若
,則
。
- 乘法是一可交換的運算。
- 除法是乘法的逆運算。
- 除去一個數和乘上一個此數的倒數是一樣意思的:
![{\displaystyle {a \over b}=a\cdot {1 \over b}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fe159e318c308e6769bd5ec206c0208e7c7de46)
- 例如:若
,則
。
- 冪不是一可交換的運算。
- 但冪卻有兩個逆運算:對數 和 开方(如平方根)。
- 例如:若
,則
。
- 例如:若
,則
,即
,
。
- 負數的平方根不存在於實數內。(參考:複數)
- 加法的結合律性質:
。
- 乘法的結合律性質:
。
- 對應加法的乘法分配律性質:
。
- 對應乘法的冪分配律性質:
。
- 冪的乘法:
。
- 冪的冪:
。
(等於的自反性)。
- 若
,則
(等於的對稱性)。
- 若
且
,則
(等於的遞移律)。
- 若
,則
。
- 若
且
,則
。
- 若
,則對任一 c,
(等於的可加性)。
- 若
且
,則
=
。
- 若
,則對任一 c,
(等於的可乘性)。
- 若兩個符號相等,則一個總是能替換另一個(替換原理)。
- 若
且
,則
(不等式的遞移律)。
- 若
,則對任一 c,
。
- 若
且
,則
。
- 若
且
,則
。
最簡單的方程為一元一次方程,它們是含有一個常數和一沒有冪的變數。例如:
![{\displaystyle 2x+4=12.\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430b91b53091b5e3f9e77526f6eff73075550357)
其中心解法為在等式的兩邊同時以相同數字做加、減、乘、除,以使變數單獨留在等式的一側。一旦變數獨立了,等式的另一邊即是此變數的值。例如,將上面式子兩邊同時減去4:
,
簡化後即為
![{\displaystyle 2x=8.\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27d4a226d8d0f34b0510f9bc59c6a6e481da171a)
再同時除以2:
![{\displaystyle {\frac {2x}{2}}={\frac {8}{2}}\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c803f923e40f225580049943d071d023f0091c3f)
再簡化後即為答案:
![{\displaystyle x=4.\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ba891acef28daed63d48796f1f872d6752f839)
一般的情形
![{\displaystyle ax+b=c}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08bf93625b100c9a4838fb52ddb9e65acfdb1234)
也可以依同樣的方式得出答案來:
![{\displaystyle x={\frac {c-b}{a}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae8f1e0d24f24022000a106a0088ca9e9e6db538)
【這就是一元一次方程簡單的說明】
一元二次方程可以表現成
,在這
不等於零(假如
等於零,則此方式為一次方程式,而非二次方程式)。二次方程式必須保持二次的形態,如
,二次方程式可以通過因式分解求解(多項式展開的逆過程),或者一般地使用二次方程求根公式。因式分解的舉例:
![{\displaystyle x^{2}+3x=0.\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c605746dce9bec4ff8b6f7d2b5cdc937baf2769)
這相當於
![{\displaystyle x(x+3)=0.\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef4ed7a5d04b7c2e5fcc4abff74760d0f4eb5ee9)
0 和 -3 是它的解,因爲把
置為 0 或 -3 便使上述等式成立。
所有二次方程式在複數體系中都有兩個解,但是在實數系統中卻不一定,例如:
![{\displaystyle x^{2}+1=0\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb11d514a79b211f2ea7f957bad72808c23696ff)
沒有實數解,因爲沒有實數的平方是 -1。
有時一個二次方程式會有2重根,例如:
![{\displaystyle (x+1)^{2}=0.\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b65ef32fe727ca792d8ae3395c5da6027e782f7)
在這個方程中,-1是2重根。
在線性方程組內,如兩個變數的方程組內有兩個方程式的話,通常可以找出可同時滿足兩個方程式的兩個變數。
下面為線性方程組的一個例子,有兩個求解的方法:
![{\displaystyle 4x+2y=14\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1c1a2de1b9c8a2a44c20531860fd5c80f97390)
![{\displaystyle 2x-y=1.\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ae159a28a6acef080944435aa2ac31618bfec5)
將第2個等式的左右項各乘以2,
![{\displaystyle 4x+2y=14\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1c1a2de1b9c8a2a44c20531860fd5c80f97390)
![{\displaystyle 4x-2y=2.\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f57ff6ef4912e94c4b2aa0f1d1edcf651f34b732)
再將兩式相加,
![{\displaystyle \,8x=16,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c3cb8ccf7fbe9451b0d486cb0bda6f2b690545)
上式可化簡為
![{\displaystyle x=2.\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bb9352a9d460eae86b8908af8f0d1e330f3fe64)
因爲已知
,於是就可以由兩式中的任意一個推斷出
。所以這個問題的完整解為
![{\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6374cae9987d433efc60d4f85311a96d4e74ec96)
注意:這並不是解這類特殊情況的唯一方法;
也可以在
之前求得。
另一種求解的方法為替代。
![{\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1.\end{cases}}\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31ca6c12b4bc80c0e9e9b497fb136f045f0be475)
的等值可以由兩個方程式中的其中一種推出。我們使用第二個方程:
![{\displaystyle 2x-y=1\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/904182e91c5cd2b2fd9de6c456b5f195671f15ce)
由方程的兩邊減去
:
![{\displaystyle 2x-2x-y=1-2x\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f18c3ec1ce28fdc4b38f6efb8c67f1764dff3dd)
![{\displaystyle -y=1-2x\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7096046c4ceaa071e8d8cdfb8fb573042d4483d9)
再乘上 -1:
![{\displaystyle y=2x-1.\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a09a56386a6edfa099093c34a6a98d032a77653)
將此
值放入原方程組的第一個方程式:
![{\displaystyle 4x+2(2x-1)=14\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d40184db1f038b14f33ccaec8656c9a90e76979)
![{\displaystyle 4x+4x-2=14\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02de152790e8cb2b24ea8c694622ab7a073a704f)
![{\displaystyle 8x-2=14\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26d72dd4cb746582240cba479b6c433c98e85f41)
在方程的兩端加上 2:
![{\displaystyle 8x-2+2=14+2\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1912710d52b397b8c5ed33ab4a4c592912dc203)
![{\displaystyle 8x=16\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f8b5dcca4c7d0a5bfa516d8e865a35cdc5a2c96)
此可簡化成
。
將此值代回兩個方程式中的一個,可求得和上一個方法所求得的相同解答。
![{\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6374cae9987d433efc60d4f85311a96d4e74ec96)
注意:這並不是解這類特殊情況的唯一方法;在這個方法裡也是一樣的,
也可以在
之前求得。
- ^ Mirsky, Lawrence (1990) An Introduction to Linear Algebra Library of Congress. p.72-3. ISBN 0-486-66434-1.