塞邁雷迪-特羅特定理
塞邁雷迪-特羅特定理為組合幾何的定理,其斷言給定歐氏平面上任意個點和條直線,至多發生
次重合(incidence,即二元組,其中為一點,為直線,且在上)。
此上界已經是最優的上界了,唯一的改進只可能出現在大O符號中隱藏的常數倍數。
考慮隱藏常數的話,保奇·亞諾什、拉多什·拉多伊契奇(Radoš Radoičić)、陶爾多什·加博爾、托特·蓋薩四人[1]給出上界。此後,由於交叉數不等式的常數得到改進,塞邁雷迪-特羅特定理的常數也相應得到改進。截至2019年末,最優的常數是。[2] 另一方面,保奇和托特證明,若將上式的常數換成,則不再為重合數的上界。[3]
定理也有以下等價形式:若給定個點和整數,則經過至少個點的直線數至多為
定理得名自塞邁雷迪·安德烈和威廉·特羅特,其最先的證明較複雜,用到稱為「胞分解」(cell decomposition)的組合技巧。[4][5]其後,塞凱利·拉茲洛(Székely László)利用圖的交叉數不等式,給出更簡單的證明,[6] 詳見下文。
塞邁雷迪-特羅特定理可推導出若干其他定理,例如重合幾何的貝克定理和算術組合學的艾狄胥-塞邁雷迪和積定理。
第一形式的證明
[编辑]先考慮僅經過至多兩點的直線。該些直線產生的重合數至多為。於是現在僅需考慮餘下的直線,而該些直線每條經過至少三點。
若一條直線上恰有個點,則該些點將直線截斷成條線段(不計首尾僅得一端點的射線)。由於假設(已無須考慮僅經過至多兩點的直線),有,即每條直線截成的線段數至少為其上點數之半。對所有直線求和,可知該些線段的總數亦至少為總重合數之半,從而只需證明
以該點為頂點,並以該條線段為邊建圖。每條線段皆為條直線中某一條的部分,且每兩條直線交於至多一點,故圖的交叉數至多為。再由交叉數不等式知,或者有,或者有。兩者皆推出,從而得到上界
第二形式的證明
[编辑]因為過兩點至多只有一條直線,且,所以經過至少個點的直線至多只有條。若很小(小於某個絕對常數),則此上界已足以證明定理的第二形式。於是,以下僅需考慮較大的情況()。
設經過至少個點的直線恰有條直線,則其上至少有次重合,故由定理的第一形式,得
所以、、三式至少有一式成立。第三式不可能,因為已設為大,所以必有前兩者之一。但經初等運算可知,前兩者皆推出。
取到上界的例子
[编辑]若不考慮上界隱含的常數,則塞邁雷迪-特羅特定理的上界已是最優。使重合數達到上界的例子如下:對任意正整數,考慮整數格點集
和一族直線
於是,有個點和條直線。由於每條直線都通過點(每個)對應一點),總重合數為,已達上界。[7]
高維推廣
[编辑]潘卡傑·阿加爾瓦爾及鮑里斯·阿洛諾夫發現定理的高維推廣:[8]給定維空間的點(記其集合為)和個(維)超平面(記其集合為),則和之間的重合數有上界
也可以等價寫成:中通過至少個點的超平面數目至多為
赫伯特·埃德斯布倫內給出了漸近最優的構造,從而上述上界亦不能再改進。[9]
紹利莫希·約瑟夫和陶哲軒考慮點和高維代數簇的情況,並在其滿足「某些擬直線(pseudo-line)類公設」的情況下,得到近乎最優的重合數上界。其證明運用到多項式火腿三文治定理。[10]
複二維平面
[编辑]實域上的塞邁雷迪-特羅特定理有若干證明依賴歐幾里得空間的拓撲,所以不能直接推廣到其他域上,塞邁雷迪和特羅特的原證明、多項式分割法、交叉數法皆屬此類,其不能適用於複域上的平面。
托特·喬鮑(Tóth Csaba)將塞邁雷迪和特羅特的原證明推廣到。[11]喬書亞·扎爾(Joshua Zahl)利用另一個方法,也獨立地證明此結論。[12]然而,其所得的上界的隱含常數與實域的情況有異:托特證明了該常數可取為,而扎爾的證明並無給出具體的常數。
若限定點集為笛卡兒積,則紹利莫希·約瑟夫和陶爾多什·加博爾更簡單地證明了塞邁雷迪-特羅特上界仍成立。[13]
有限域上
[编辑]在一般域上,塞邁雷迪-特羅特上界不一定成立。例如:取有限域的二維平面上全部個點的集合,又取全部條直線的集合,則每條直線經過個點,故有次重合。另一方面,塞邁雷迪-特羅特上界僅為。此例子說明平凡上界已為最優。
讓·布爾甘、內茨·卡茨、陶哲軒三人[14]證明,除此例子外,平凡上界可以改進。
有限域上的重合數大致分為兩類:
點集或直線集大的情況
[编辑]設為奇質數冪。黎英榮(Lê Anh Vinh)[15]證明,上點與條直線的重合數至多為
且上式並無隱含常數。
點集及直線集皆不大的情況
[编辑]設為域,且其特徵為。蘇菲·史蒂文斯(Sophie Stevens)和弗蘭克·德齊烏(Frank de Zeeuw)[16]證明,若(時無需此條件),則上點和條直線的重合數至多為
時,此上界比塞邁雷迪-特羅特上界更優。
若限定點集為笛卡兒積,則其證明以下更佳的上界:證為有限點集,其中,又設為平面上有限條直線的集合。假設,而若特徵為正就再加上條件,則和組成的重合數至多為
此上界為最優。由於平面有點線對偶,也可以將上述定理中,點和線的角色互換,得到對偶版本,適用於直線集為笛卡兒積、點集任意的情況。
米沙·魯德涅夫(Misha Rudnev)和伊利亞·什克列多夫(Ilya D. Shkredov)研究了點集和直線集皆為笛卡兒積的情況(不論在實域或任意域),[17]給出該情況下重合數的上界。此上界有時優於上列其他上界。
參考資料
[编辑]- ^ Pach, János; Radoičić, Radoš; Tardos, Gábor; Tóth, Géza. Improving the Crossing Lemma by Finding More Crossings in Sparse Graphs. Discrete & Computational Geometry. 2006, 36 (4): 527–552. doi:10.1007/s00454-006-1264-9
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- ^ Pach, János; Tóth, Géza. Graphs drawn with few crossings per edge. Combinatorica. 1997, 17 (3): 427–439. doi:10.1007/BF01215922 (英语).
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- ^ Rudnev, Misha; Shkredov, Ilya D. On the growth rate in SL_2(F_p), the affine group and sum-product type implications. arxiv. [2021-07-16]. (原始内容存档于2021-07-13) (英语).