在數學分析中,均值定理(英語:Mean value theorem)大致是講,給定平面上固定兩端點的可微曲線,則這曲線在這兩端點間至少有一點,在這點該曲線的切線的斜率等於兩端點連結起來的直線的斜率。[註 1]
更仔細點講,假設函數
在閉區間
連續且在開區間
可微,則存在一點
,使得
.
中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。
微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,内容粗略的说是指平面上一段固定端點的可微曲线,兩端點之中必然有一点,它的斜率與連接兩端點的直線斜率相同(严格的数学表达参见下文)。
當提到均值定理時在沒有特別說明下一般指拉格朗日均值定理。
罗尔定理的几何意义
如果函数
满足
- 在闭区间
上连续;
- 在开区间
内可导;
- 在区间端点处的函数值相等,即
,
那么在
内至少有一点
,使得
。这个定理称为罗尔定理。
拉格朗日中值定理的几何意义
令
为闭区间
上的一个连续函数,且在开区间
内可导,其中
。那么在
上存在某个
使得
![{\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2f0ffc5f9bd9ddb9e157bcc15fac0f8662f0b1)
此定理称为拉格朗日中值定理,也簡稱均值定理,是罗尔中值定理的更一般的形式,同时也是柯西中值定理的特殊情形。
这个定理在可以稍微推廣一點。只需假设
在
连续,且在開區間
内对任意一點
,极限
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d55a8aaa8dfd5858d02834125c5f54f127135f2a)
存在,为一个有限数字或者等于+∞或−∞.如果有限,则极限等于
。這版本定理应用的一个例子是函數
,实值三次方根函数,其导数在原点趋于无穷。
注意若一个可微函数的值域是複數而不是實數,則上面这定理就未必正确。例如,对實數
定义
。那么
![{\displaystyle f(2\pi )-f(0)=0\neq f'(c)(2\pi -0)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe3ce80fb81c266665c3ec1b45aa59d4bdcd65ff)
因
时,
為開區間
中任意一點。
柯西中值定理,也叫拓展中值定理,是中值定理的一般形式。它叙述为:如果函数 f 和 g 都在闭区间[a,b] 上连续,且在开区间 (a,b) 上可微,那么存在某个 c ∈ (a,b),使得
柯西定理的几何意义
![{\displaystyle (f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c)\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d353ff0f798af4d0c6280664060bf81923e57af)
当然,如果g(a) ≠ g(b) 且 g′(c) ≠ 0,則可表示成:
![{\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97bc48c073662e0a93cf5df87d41c06b66400c64)
在几何上,这表示曲线
![{\displaystyle {\begin{cases}[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/035d912ebe2e72e28cf8922a39d1b07ee8afe321)
上存在一點其切線平行于由兩點 (f(a),g(a)) 和 (f(b),g(b)) 所連接的直线。但柯西定理不能表明在任何情况下這種切線都存在,因为可能存在一些c值使 f′(c) = g′(c) = 0,所以在这些点曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子
![{\displaystyle t\mapsto (t^{3},1-t^{2})}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/975d103dc1663be3290e71ea609dface5ebb067e)
在区间[−1,1]上,曲线由(−1,0)到(1,0),却并无一个水平切线,然而它在 t = 0处有一个驻点(实际上是一个尖点)。
柯西中值定理可以用来证明洛必达法则。(拉格朗日)均值定理是柯西中值定理当g(t) = t时的特殊情况。
积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理,它们各包含两个公式。其退化状态均指在ξ的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等(严格表述在下面)。
设
为一连续函数,
要求
是可积函数且在积分区间不变号,那么存在一点
使得
。
在不失去一般性的条件下,设对所有
,有
;
因为
是闭区间上的连续函数,
取得最大值
和最小值
。于是
。
对不等式求积分,我们有
。
若
,则
。
可取
上任一点。
若不等于零那么
,
。
因为
是连续函数,根據介值定理,则必存在一点
,使得
。
的情况按同样方法证明。
积分第一中值定理推论的几何意义
在上式中令
,则可得出:
设
为一连续函数,则∃
,使
![{\displaystyle f(\xi )={\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfb39c0441abf7df6aa4808215baebbbe6c9f03a)
它也可以由拉格朗日中值定理推出:
设
在
上可导,
,则∃
,使
![{\displaystyle f(\xi )=F^{\prime }(\xi )={\frac {F(b)-F(a)}{b-a}}={\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0575ecd57d5d5b8c0f6da97156fc99298a67e40c)
积分第二中值定理与积分第一中值定理相互独立,却又是更精细的积分中值定理。它可以用来证明Dirichlet-Abel反常Riemann积分判别法。
若f,g在[a,b]上黎曼可积且f(x)在[a,b]上单调,则存在[a,b]上的点ξ使
;
第二积分中值定理退化形式的几何意义
令g(x)=1,则原公式可化为:
;
进而导出:
;
此时易得其几何意义为:
能找到ξ∈[a,b],使得S[红]+S[蓝]=S[阴影],即S[I]=S[II]
关于积分中值定理的一个重要应用是可以去除掉积分号,或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数,从而使问题简化。