在数学中,有许多对数恒等式。
对数可以用来简化计算。例如,两个数可以只通过查表和相加而得到乘积。
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對應到 |
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歐拉恆等式:
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同底的对数和指数会彼此消去。这是因为对数和指数是互逆运算(就像乘法和除法那样)。
![{\displaystyle b^{\log _{b}(x)}=x}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/279efc9f676f2d56705091a6a06484d0ed2e05db) |
因为 |
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![{\displaystyle \log _{b}(b^{x})=x\!\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c621245b883b70f51ff84cd7dcbf71f42717743) |
因为 |
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![{\displaystyle \log _{\theta }x={\frac {\log _{\phi }x}{\log _{\phi }\theta }}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/380ef9f43dc5bfd10c3e7259cfd7515543b39502)
在计算器上计算对数时需要用到这个公式。例如,大多数计算器有ln和log10的按钮,但却没有
的。要计算
,只有计算
[註 1]。
这个公式有许多推论:
![{\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15dbdb202a6378003932e79acd2bb1445ab79b78)
![{\displaystyle \log _{a^{n}}b={{\log _{a}b} \over n}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/292957e57ad67be57d36bbc5fb7386a92077a775)
![{\displaystyle a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f5410f566d0437fa4e94f46fe96659a4676013)
![{\displaystyle \log _{a_{1}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{n}}b_{n}=\log _{a_{\pi (1)}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{\pi (n)}}b_{n},\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7fb74682909ae14b3dd606a5533a3709cfde47b)
是下标
的任意的排列。例如
![{\displaystyle \log _{a}w\cdot \log _{b}x\cdot \log _{c}y\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{b}y\cdot \log _{c}z.\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2664995bae541a524f05c39e7463e78c26f18c92)
下面的和/差规则对概率论中的对数化概率的计算非常有用:
[註 2]
![{\displaystyle \log _{b}(1)=0\!\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d722057c172d6205d8fa4f9639ba59195dcd4fa) |
因为 |
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![{\displaystyle \log _{b}(b)=1\!\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60ea1710fc1dd65eb503ff34f4e60ed931867574) |
因为 |
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注意
无定义,因为没有一个数
使
成立。
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a>1}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6178e257b73c07ffa1eb055619baeee9c608f98f)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a<1}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e25e3db784008200f071c9b1accfe4d70c838a4e)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a>1}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee3149844beade9b842523133a4e16eb3333fdd7)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a<1}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00d057aa3b747a9db38732dac7233f3e3d27a12)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba195e3df473541352d62701ffdc4df98b6bd816)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41894b8cf122d7336bcda5352973c934faef04e0)
最后一个极限经常被总结为“
的对数增长得比
的任何次方或方根都慢”。[註 3]
![{\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x}={\ln e \over x}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3be1af00e76999bcf4053bcc774aade5aaee092e)
![{\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e72c70a86d7ec8c9b4353058bda339ff8598c7)
![{\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e9d4b89241e2696ab222e6e33cb73c928a62af)
为了记忆积分,可以方便的定义:
![{\displaystyle x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be26aeae0c7b88d50e760d2ce40df2af4c44b0bb)
![{\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/078fe3653cf35a30aea1b7f03ea554ae7670b967)
![{\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c12b6bda581e741822ed456b8e7c42955525db0)
![{\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41c21bdba06d346a4ba6099ffecd4612135f157a)
![{\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1dd85612d205f8fab7b2af8590f297eec9c209a)
于是,
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1466307fb829dca298b9bfcce3e58bd33c52d8a)
![{\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92036b7056a0179b00f4d6739640046d2e8553ba)
对数恒等式可以用来求大数的近似数。
假设我们要得到第44个梅森质数
的近似值。先取对数(
被忽略),
以10为底的对数等于 32,582,657 与
的乘积,计算得到
。再取指数消去对数,得到最后结果为
.
类似地,阶乘的结果可以用每项的对数之和来近似。