斯坦豪斯-莫澤表示法,又稱斯坦豪斯-莫澤記號、斯坦豪斯-莫澤多邊形記號、多邊形記號,為利用多邊形來表示大數的一種表示法。此表示法由雨果·斯坦豪斯發明,後來李奧·莫澤擴展了該表示法。
斯坦豪斯多邊形記號的定義如下:
= nn
= 「n放進n個三角形中」
= 「n放進n個正方形中」
斯坦豪斯使用這個符號定義了一些數:
被稱為Mega數。
被稱為Megiston數。
莫澤多邊形記號是斯坦豪斯多邊形記號的擴張,這個記號不使用圓形,而使用一般的多邊形。
、
與斯坦豪斯的記號相同。
= 「n放進n個正方形中」(=
)
- 一般來說,「n放進m邊形中」=「n放進n個m - 1邊形中」
而「2放進
邊形中」則被稱為莫澤數。
紐約大學的蘇珊·史蒂芬教授在自己的網站中使用以下替代符號:
- 「n放進p邊形中」使用
來表示。(請注意:在本條目中,
都是表示某個數字放進正
邊形中,並不是第
級的超運算,為了避免搞混,第
級的超運算在本條目中是使用
個向上的箭號表示,請見高德納箭號表示法)
可以重複使用。例如,「『n放進q邊形中』放進p邊形中」可以表示為
。
- 「n放進k個p邊形中」表示為
。換句話說,
可以定義為
。
多邊形記號可以使用這種表示法來定義:
![{\displaystyle =n[3]=n^{n}=n\uparrow \uparrow 2\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b09e7e3e404461ca69e79f319d34718d27f290f5)
![{\displaystyle =n[4]=n[3]_{n}\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e99757dabedca3a405881fed7af7b211765e58fe)
![{\displaystyle =n[5]=n[4]_{n}\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7810f723a5d89dd9477f20c28ef3ed0ae4096f31)
- 一般來說,
。
上面所使用的↑為高德納箭號表示法中的記號。
其他例子:
![{\displaystyle =n[3]_{4}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2098c95d2eee460a546bf65c210799353e7e4c33)
斯坦豪斯和莫澤所定義的大數可如下表示:
(Mega數)![{\displaystyle =2[5]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3618fc794cdb74c10a3c8949e237ee7fc656348d)
(Megiston數)![{\displaystyle =10[5]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5bcf255dc611475878019158f0ac25b253bfe78)
- 莫澤數 =
![{\displaystyle 2[2[5]]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb36fcac84c05d2e171adbf4ea1e90f307a6d39)
- 2[3] = 22 = 4
- 2[4] = 2[3]2 = 2[3][3] = 4[3] = 44 = 256
= 2[5]
- = 2[4]2
- = 2[4][4]
- = 256[4]
- = 256[3]256
256[3]n所代表的值如下(n從1開始):
![{\displaystyle 256[3]=256^{256}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/776982248a22a95378172b3db3433c7de96c6f71)
,
![{\displaystyle 256[3]_{3}=256[3]_{2}[3]=256[3]_{2}\uparrow \uparrow 2=\left(256^{256^{257}}\right)^{256^{256^{257}}}=256^{\left(256^{257}\times 256^{256^{257}}\right)}=256^{256^{(257+256^{257})}}=(256\uparrow )^{2}\left(257+256^{257}\right)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa47e47d5157eb355800b7bea6dbbae0d506cbb2)
這個數字可以「近似」如下:
![{\displaystyle 256[3]_{3}=256^{256^{257+256^{257}}}\risingdotseq 256^{256^{256^{257}}}=(256\uparrow )^{3}257}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07850422214018533a44329b36cef8ad9824dd7b)
這個近似值跟
實際上差了非常多倍:
![{\displaystyle 256^{256^{257+256^{257}}}=\left(256^{256^{256^{257}}}\right)^{256^{257}}\gg 256^{256^{256^{257}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7249a317c51d7f19551040a8e36685220ed143bd)
通常人們會感覺這兩個數很近,其實差很遠。
類似地,
![{\displaystyle 256[3]_{4}\risingdotseq \left(256^{256^{256^{257}}}\right)^{256^{256^{256^{257}}}}=256^{\left(256^{256^{257}}\times 256^{256^{256^{257}}}\right)}=256^{256^{(256^{257}+256^{256^{257}})}}\risingdotseq 256^{256^{256^{256^{257}}}}=(256\uparrow )^{4}257}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72bd464f432f7102d8a51310562e4f9464987bb5)
![{\displaystyle 256[3]_{5}\risingdotseq 256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}=(256\uparrow )^{5}257}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c42c03d94a1b32933ed3020c81b994281bf9d7b)
這種「近似」方法也可以推展到所求的Mega數:
![{\displaystyle =256[3]_{256}\risingdotseq (256\uparrow )^{256}257}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4c88c665dbd90a3b9a826897555a76e374ef1fe)
如果再採用更簡化的「近似值」,可以推得:
![{\displaystyle \risingdotseq 256\uparrow \uparrow 257}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0966ebca9c45648793b980f31595a87fa3b1df9e)
實際上,
![{\displaystyle \gg (256\uparrow )^{256}257\gg 256\uparrow \uparrow 257}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b82eff8a176865a12bd541957d8bcf10b70170)
如果以10為底,則可表示成:
![{\displaystyle \approx (10\uparrow )^{255}\left(1.99\times 10^{619}\right)\approx (10\uparrow )^{256}\left(6.19\times 10^{2}\right)\approx (10\uparrow )^{257}\left(2.79\right)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eff97cecb5b32b6edd3462fe705c5d3121c14a3)
因此Mega數的範圍為:
![{\displaystyle <10\uparrow \uparrow 258}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f94edfa16dcd2632d696c60716c421827de8f58)
= 10[5] = 10[4]10 = (10[4]9)[4]
通過類似於Mega數近似值的近似方法,可得:
![{\displaystyle a[4]=a[3]_{a}\risingdotseq a\uparrow \uparrow (a+1)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66549eaa3d1f8088346f3ac84431a674a4df6a91)
(*)
將a換成10,可得:
![{\displaystyle 10[4]=10[3]_{10}\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 11}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/074d6bc5d54a5cf307db58e2ff7f37b73532c272)
![{\displaystyle 10[4]_{2}=10[4][4]\risingdotseq (10\uparrow \uparrow 11)\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1cc71b537917b62d77364004ea2b88cb809c098)
下式為把開頭的10換成a,11換成b,後面的
換成n之後的計算(其中a↑b = ab):
![{\displaystyle {\begin{aligned}(a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n&=(a\uparrow \uparrow b)\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))\\&=(a\uparrow (a\uparrow \uparrow (b-1)))\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))\\&=a\uparrow ((a\uparrow \uparrow (b-1))\times (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))\\\end{aligned}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66024cdda582d8bdc99cefa7691b2751b2dd5281)
當a, b皆足夠大時:
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow (b-1)\ll (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c33daa233cd6b404874ad3121efb0fa691b3b1)
所以
![{\displaystyle (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n\risingdotseq a\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55075ee764cff729d0fcc839235a476a6746b31f)
這是一個近似值。
此時重複上面的操作,直到n = 1為止:
![{\displaystyle {\begin{aligned}(a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n&\risingdotseq \underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} _{n-1}\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow 1)\\&=\underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} _{n-1}\uparrow (a\uparrow \uparrow b)\\&\risingdotseq a\uparrow \uparrow ((n-1)+b)\end{aligned}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b917613d7b446a5ee5e0c491108eba63c241f1d9)
因此,當
時
(**)
這是一個近似值。
使用(**)式,可得
的近似值:
![{\displaystyle 10[4]_{2}\risingdotseq 10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d5425f7740f8d129ece806093f7bd3819ca2ff1)
以下的近似值使用(*)和(**)式:
![{\displaystyle 10[4]_{3}=10[4]_{2}[4]\risingdotseq (10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11))\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11))\risingdotseq 10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11))=10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{3}11}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c481e77af28f502672e5aa4f89e081e01f632af)
![{\displaystyle 10[4]_{4}=10[4]_{3}[4]\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{4}11}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29e4a614bb8307f55655448cad2e096aaa51ae42)
![{\displaystyle 10[4]_{5}=10[4]_{4}[4]\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{5}11}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4ec23371b6902b840daabfa39f916f6b852b33a)
因此,
![{\displaystyle 10[4]_{10}\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{10}11}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd71f8b701ad712358c42c534db6c69f05eadd1)
所以Megiston數大致等於:
![{\displaystyle \risingdotseq 10\uparrow \uparrow \uparrow 11}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a68c044beb60affb655a762449dda54fd9902d)
然而,實際上近似值遠小於真正的Megiston數:
![{\displaystyle \gg (10\uparrow \uparrow )^{10}11\gg 10\uparrow \uparrow \uparrow 11}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/435ca6709f5b97b348dff0a312b6c72fb236055b)
莫澤數代表![{\displaystyle 2[}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/847d578ef9157aefaaeb6bfa24bcaa947ed19687)
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/29/Circle-two.svg/18px-Circle-two.svg.png)
。由於
是相當巨大的數字,
邊形幾乎跟圓沒有差別,因此採用莫澤多邊形記號是不可能畫出莫澤數的。
儘管
是非常巨大的,跟
相比來說仍是微不足道的。
提姆·周在1998年證明了下式[1] (页面存档备份,存于互联网档案馆),可見莫澤數遠遠小於葛立恆數(因為下式中後者還比葛立恆數小很多):
利用高德納箭號表示法來準確表示莫澤數幾乎是不可能的,但是可以用近似值來表示。莫澤數近似於
(
-2個箭號)。