在抽象代数中,一个群的交換子(commutator)或换位子是一个二元運算子。设g及h 是 群G中的元素,他們的交換子是g −1 h −1 gh,常記為[ g, h ]。只有当g和h符合交换律(即gh = hg)时他们的交换子才是这个群的单位元。
一个群G的全部交换子生成的子群叫做群G的导群,记作D(G)。
群G中两个元素g和h的交换子为元素
- [g, h] = g−1h−1gh
它等于群的幺元当且仅当g和h可交换(即gh = hg)。
环或结合代数上两个元素a和b的交换子定义为:
![{\displaystyle [a,b]=ab-ba.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c73ba7fbd6260acd540051cc2c6f9131ff0d7f8e)
量子力学中,经常用到对易关系(commutation relation),即
;
其中;
、
均为量子力学的算符,
是其对易算符,也称交换子。
如果上式等于零,则称
、
是对易的,即意味着
和
两个算符的运算顺序可以调换。反之则称非对易的,运算顺序不可以调换。
量子力學中,交換子有以下特性:
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=-[{\hat {B}},{\hat {A}}]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71751561fdf8eb615f1a5edd7ed2e5acf65e913f)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}+{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}],\quad [{\hat {A}}+{\hat {B}},{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {C}}]+[{\hat {B}},{\hat {C}}]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83cef7b865023dbbf40833c3a3ef49634082e1fb)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]{\hat {C}}+{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}],\quad [{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}+{\hat {A}}[{\hat {B}},{\hat {C}}]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91265f173314a577a8d79a23007739e37e58a9fb)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {A}}^{n}]=0,\quad n=1,2,3...}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e0b1377734a1894005c2b689bd41341fb181372)
![{\displaystyle [k{\hat {A}},{\hat {B}}]=[{\hat {A}},k{\hat {B}}]=k[{\hat {A}},{\hat {B}}]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/875f277b4e14aa8f38c00a3d4271c40775417d17)
![{\displaystyle [{\hat {A}},[{\hat {B}},{\hat {C}}]]+[{\hat {C}},[{\hat {A}},{\hat {B}}]]+[{\hat {B}},[{\hat {C}},{\hat {A}}]]=0}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a497dd909a71fee526b5a92d6cab24a97969b9d8)
量子力学中的各个力学量之间,常用的对易关系有:
以下,
是位置算符、
是动量算符、
是角动量算符(包括轨道角动量、自旋角动量等),而
是克罗内克δ、
是列維-奇維塔符號。其中i、j、k均可以指代x、y、z三个方向中的任意一个。
对易关系 |
更具体的形式
|
![{\displaystyle [{\hat {x}}_{i},{\hat {x}}_{j}]=0}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab641df0fa40efa95bcb23b0a63a4714bec05f3e) |
、
|
![{\displaystyle [{\hat {p}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=0}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/866693dbe80a3a82eb8008c95ba9769d539d44d8) |
、
|
![{\displaystyle [{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e4c1fab8f5cb416b4257732b99639fdeb9dac0) |
、 、 、
|
![{\displaystyle [{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}{\hat {L}}_{k}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c450a1d388ca0d8d045536f52ad96e981c1eb2) |
、 、
|
物理學中,正則對易關係是正則共軛的量之間的關係,這樣的量從定義可以發現:一個量是其共軛量的傅立葉變換的結果。舉例來說:
![{\displaystyle [x,p]=i\hbar }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dda495e8923de3bce36ce44894a0f55a12b291e)
上面的x與p分別為一維空間中的一點粒子的位置與動量,而
為所謂
與
的交換算符,
是虛數單位,
為約化普朗克常數,等於
。此一關係常歸功於馬克斯·玻恩,並且此式子暗示了以海森堡為名的不確定性原理。
相對於量子力學,古典物理中所有可觀測量都可對易(交換),而交換算符會是零;然而仍然有類似的關係存在:需將交換子換成泊松括號,且常數
換成
:
![{\displaystyle \{x,p\}=1\,\!}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9e7d88c6a3d690e718648d394622998abc1fbd5)
這樣的觀察導致了保羅·狄拉克提出假設:一般來說,古典的觀測量
其量子對應項
應滿足
。
於1927年,赫尔曼·外尔(Hermann Weyl)指出了量子算符與相空間中古典分布之間的對應關係並不成立。不過他倒是提出了一個機制,稱作魏爾量子化(Weyl quantization),為了一種稱作形變量子化(deformation quantization)的量子化方法提供了數學途徑。
- Fraleigh, John B., A First Course In Abstract Algebra 2nd, Reading: Addison-Wesley, 1976 [2020-04-07], ISBN 0-201-01984-1, (原始内容存档于2021-07-09)
- Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics
2nd, Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-805326-X
- Herstein, I. N., Topics In Algebra 2nd, John Wiley & Sons, 1975
- Liboff, Richard L., Introductory Quantum Mechanics 4th, Addison-Wesley, 2003, ISBN 0-8053-8714-5
- McKay, Susan, Finite p-groups, Queen Mary Maths Notes 18, University of London, 2000, ISBN 978-0-902480-17-9, MR 1802994
- McMahon, D., Quantum Field Theory, USA: McGraw Hill, 2008, ISBN 978-0-07-154382-8