有符號數處理
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在计算机进行运算时,需要将负数编码至二进制形式,所用的编码方法称为有符号数的表示。
在数学中,可以在任意基数的数前面添加负号“−”来表示负数。然而在随机存取存储器和寄存器中,数据均以一系列二进制位表示而没有额外的标志,因此需要一种编码负号的方法。当前有四种方法,用于扩展二进制数字系统,来表示有符号数:原码(sign-and-magnitude)、反码(ones' complement)、补码(two's complement)以及移码(offset binary,excess-N)。
原码
[编辑]二进制 | 符號及值 | 无符号 |
---|---|---|
00000000 | +0 | 0 |
00000001 | 1 | 1 |
... | ... | ... |
01111111 | 127 | 127 |
10000000 | −0 | 128 |
10000001 | −1 | 129 |
... | ... | ... |
11111111 | −127 | 255 |
符號及值(sign & magnitude)的处理办法是分配一个符号位(sign bit)来表示这个符号:设置这个位(通常为最高有效位)为0表示一个正数,为1表示一个负数。数字中的其它位指示数值(或者绝对值)。因此一个字节只有7位(除去符号位),数值的范围从0000000(0)到1111111(127)。这样当你增加一个符号位(第八位)后,可以表示从−12710到+12710的数字。这种表示法导致的结果就是可以有两种方式表示零,00000000(0)与10000000(−0),這大大增加數碼電路的複雜性和設計難度。CPU亦須執行兩次比較,來測試運算結果是否為零。
十进制数−43用原码方法编码成八位的结果为10101011。
这种方法被直接比较于常用的符号表示法(放置一个“+”或者“−”在数字的数值之前)。一些早期的二进制电脑(例如IBM 7090)使用这种表示法,也许是由于它与通用用途的自然联系。原码是最常用的表示浮點數的方法。IEEE二進位浮點數算術標準(IEEE 754)採用最高有效位作為符号位,因此可表示正負零及正負無限。
反码
[编辑]二进制值 | 反码表示 | 无符号数表示 |
---|---|---|
00000000 | +0 | 0 |
00000001 | 1 | 1 |
... | ... | ... |
01111101 | 125 | 125 |
01111110 | 126 | 126 |
01111111 | 127 | 127 |
10000000 | −127 | 128 |
10000001 | −126 | 129 |
10000010 | −125 | 130 |
... | ... | ... |
11111110 | −1 | 254 |
11111111 | −0 | 255 |
另一方面,一种叫做反码(ones' complement)的系统也可以用于表示负数(注:正数与原码形式一样,无需取反)。一个负数的二进制数反码形式为其绝对值部分按位取反(即符号位不变,其余各位按位取反)。同原码表示一样,0的反码表示形式也有两种:00000000(+0)与11111111(−0)。
例如,原码10101011(-43)的反码形式为11010100(−43)。有符号数用反码表示的范围为−(2N−1−1)到(2N−1−1),以及+/−0。一個慣常的八位的字節便是(可表示)−12710到+12710,以及00000000(+0)或者11111111(−0)。
对两个反码表示形式的数字做加法,首先需要进行常规的二进制加法,但还需要在和的基础上加上进位。下面是一个−1加上+2的例子。
二进制 十进制 11111110 -1 + 00000010 +2 ............ ... 1 00000000 0 <-- 错误答案 1 +1 <-- 加上进位 ............ ... 00000001 1 <-- 正确答案
在上面的例子中,二进制加法仅仅得到了00000000,这是一个错误的答案。只有当加上进位时才能得到正确答案(00000001)。
反码这种数字表示系统通常出现在老式的计算机中;PDP-1,CDC 160A,UNIVAC 1100/2200系列以及其它的一些电脑都使用反码算术。
关于正字法(orthography)的评述:这个系统之所以被称作反码(ones' complement)是因为一个正值x的反(表示为按位非x)也可以通过0的反码(ones' complement)表示形式(一长串的1,−0)减去x得到。
Internet协议IPv4,ICMP,UDP以及TCP都使用同样的16位反码检验和算法。虽然大多数计算机缺少“循环进位”硬件,但是这种额外的复杂性是可以接受的,因为“对于所有位(bit)位置上的错误都是同样敏感的”。[1] 在UDP中,全0表示省略了可选的检验和特性。另外一种表示:FFFF,指示了0的检验和。[2] (在IPv4中,TCP和ICMP都强制性地规定了检验和,而在IPv6中可以省略)。
注意负数的反码只需按位求数值的补码就可以得到,符号不需要变动。
补码
[编辑]二进制值 | 补码表示 | 无符号数表示 |
---|---|---|
00000000 | 0 | 0 |
00000001 | 1 | 1 |
... | ... | ... |
01111110 | 126 | 126 |
01111111 | 127 | 127 |
10000000 | −128 | 128 |
10000001 | −127 | 129 |
10000010 | −126 | 130 |
... | ... | ... |
11111110 | −2 | 254 |
11111111 | −1 | 255 |
补码(two's complement)回避了0有多种表示的问题以及循环进位的需要。在补码表示中,负数以位模式表示为正值的反码加1(当作无符号数)。
在补码表示中,只有一个0(00000000)。求一个数的补码(无论是负数还是正数)需要反转所有位,然后加1。一对补码整数相加等价于一对无符号数相加(除了溢出检测,如果能够做到的话)。比如,从旁边的表格可以看出,127与−128的补码表示相加就与无符号数127及128相加具有相同的结果。
从一个正数得到其对应负数的补码的简单方法表示如下:
例1 | 例2 | |
---|---|---|
1. 从右边开始,找到第一个'1' | 0101001 | 0101100 |
2. 反转从这个'1'之后开始到最左边的所有位 | 1010111 | 1010100 |
移码
[编辑]移码(offset binary),是将二进制原码无符号整数所代表的值,减去一个预设值。
标准移码,预设值为二进制原码表示的最大整数的一半。 一个数的标准移码和补码,最高位相反,其余各位均相同。
表示方式
[编辑]下表列出了 4-bit 二進數所能表示的整數:
- 無符號(unsigned)可表示0到15
- 符號及值(sign & magnitude)可表示-7到+7,包括-0
- 一補碼(ones' complement)可表示-7到+7,包括-0
- 二補碼(two's complement)可表示-8到+7,沒有±0的問題
二進數 | 無符號 | 符號位元 | 一補碼 | 二補碼 |
---|---|---|---|---|
0000 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0001 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0010 | 2 | 2 | 2 | 2 |
0011 | 3 | 3 | 3 | 3 |
0100 | 4 | 4 | 4 | 4 |
0101 | 5 | 5 | 5 | 5 |
0110 | 6 | 6 | 6 | 6 |
0111 | 7 | 7 | 7 | 7 |
1000 | 8 | -0 | -7 | -8 |
1001 | 9 | -1 | -6 | -7 |
1010 | 10 | -2 | -5 | -6 |
1011 | 11 | -3 | -4 | -5 |
1100 | 12 | -4 | -3 | -4 |
1101 | 13 | -5 | -2 | -3 |
1110 | 14 | -6 | -1 | -2 |
1111 | 15 | -7 | -0 | -1 |
参见
[编辑]参考资料
[编辑]- ^ Braden, R. Computing the Internet Checksum (RFC 1071). The Internet Engineering Task Force. 1988 [2009-06-11]. (原始内容存档于2020-10-21).
- ^ Postel, J. User Datagram Protocol (RFC 768). The Internet Engineering Task Force. 1980 [2009-06-11]. (原始内容存档于2012-07-22).