在 (a, f(a)) 处的切线
在数学中,线性近似就是用线性函数对普通函数进行近似。这个线性函数称为仿射函数。
例如,有一个实数变量的可导函数 f,根据 n=1 的泰勒公式
![{\displaystyle f(x)=f(a)+f\ '(a)(x-a)+R_{2}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c1be9243d140e6fb25663e38247de0f25fe43f9)
其中
是余数。舍去余数就是线性近似:
![{\displaystyle f(x)\approx f(a)+f\ '(a)(x-a)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f41d51584227c9b28f22a57d8a8879a6d225546c)
当 x 无限接近于 a 的时候这个等式成立。右侧的表示是 f 在点 (a, f(a)) 处的切线,因此这个过程也叫作切线近似。
我们也可以对以向量作为变量的向量函数作线性近似,这时在该点的导数用雅可比矩阵代替。例如,一个有实数变量的可导函数
,可以用函数
在接近
的
点处的值来近似
![{\displaystyle f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cbbb74d20875c79ff499b4cab985ac1caf08c91)
方程右侧是
在点
处的平面切线。
在更具普遍意义的巴拿赫空间上,
![{\displaystyle f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e8ba19c0d6fa3736e94c49070586fec2c2bc823)
其中
是函数
在
处的 Fréchet 导数。
可以通过下面的过程求得
的值。
- 设函数
,问题简化为求
的值。
- 可以得到
![{\displaystyle f\ '(x)=1/3x^{-2/3}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ffde9eea81d8a37ed38bce90888af39df1fe35)
- 根据线性近似
![{\displaystyle f(25)\approx f(27)+f\ '(27)(25-27)=3-2/27.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9134ac09cf550fc489a84db67d1df0d77eec9b)
- 结果 2.926 非常接近于实际值 2.924