在同調代數中,群上同調是一套研究群及其表示的代數工具。群上同調源於代數拓撲,在代數數論上也有重要應用;它是現代類域論的基本構件之一。
群論中的指導思想之一,是研究群
及其表示的關係。群
的表示是
-模的特例:一個
-模是一個阿貝爾群
配上
在
上的群作用
。等價的說法是:
是群環
上的模。通常將
的作用寫成乘法
。全體
-模自然地構成一個阿貝爾範疇。
對給定的
-模
,最重要的子群之一是其
-不變子群
![{\displaystyle M^{G}=\lbrace x\in M:\forall g\in G\ gx=x\rbrace .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d988397c83e08f8800124f6488cdc703a33f36c)
若
是一個
-子模(即:是
的子群,且在
的作用下不變),則
上賦有自然的
-模結構,
,但是未必有
。第一個群上同調群
可以設想為兩者間差異的某種量度。一般而言,可以定義一族函子
,其間關係可以由長正合序列表示。
以下假設
為有限群,全體
-模構成阿貝爾範疇,其間的態射
定義為滿足
的群同態
。由於此範疇等價於
-模範疇,故有充足的內射對象。
函子
是從
-模範疇映至阿貝爾群範疇的左正合函子。定義
為其導函子。根據導函子的一般理論,可知:
![{\displaystyle H^{0}(G,M)=M^{G}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05a26f1d308eb97c4f50ba20818d31ff9db399f)
- 長正合序列:若
為
-模的短正合序列,則導出相應的長正合序列
![{\displaystyle \cdots \to H^{i-1}(G,M'')\to H^{i}(G,M')\to H^{i}(G,M)\to H^{i}(G,M'')\to H^{i+1}(M')\to H^{i+1}(M)\to \cdots }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/302f2e64be53269240e72920d35ae7102135c9c9)
在上述定義中,若固定一個域
,並以
代替
,得到的上同調群依然同構。
導出函子的定義來自內射分解,不便於具體計算。然而注意到
,其中
被賦予平凡的
作用:
,故群上同調可以用Ext函子表達為
![{\displaystyle H^{i}(G,M)=\mathrm {Ext} ^{i}(\mathbb {Z} ,M)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eeda742f411003388981c0286037ed56907c85f)
另一方面,
-模範疇中也有充足的射影對象,若取一
的射影分解
,則有自然的同構
。最自然的分解是標準分解
![{\displaystyle L_{i}:=\sum _{(g_{0},\ldots ,g_{i})\in G}\mathbb {Z} (g_{0},\ldots ,g_{i})}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4449986e36dede4345cb72290facba7a803f9344)
![{\displaystyle g(g_{0},\ldots ,g_{i})=(gg_{0},\ldots ,gg_{i})}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53ff3e74e2e96bd65cf78497147a4dbfbab47bb9)
![{\displaystyle d(g_{0},\ldots ,g_{i})=\sum _{j=0}^{i}(g_{0},\ldots ,{\hat {g}}_{j},\ldots ,g_{i})}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/698f1506b66d285f6d800c5ec217a733976b8847)
而
由
給出。
定義
,其元素為形如
的函數,並滿足
,稱之為齊次上鏈。根據
在
上的作用,這種
由它在形如
的元素上的取值確定。藉此,可將上鏈複形
描述為
的元素為
之函數。
![{\displaystyle (df)(g_{1},\ldots ,g_{i+1})=g_{1}f(g_{2},\ldots ,g_{i+1})+\sum _{j=1}^{i}(-1)^{j}f(g_{1},\ldots ,g_{j}g_{j+1},\ldots ,g_{i+1})+(-1)^{i+1}f(g_{1},\ldots ,g_{i})}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a1623e8b7a4599b4630c18d488db0ea98529c50)
其中的元素稱為非齊次上鏈。
綜上所述,得到
。
較常用的上同調是
與
。從標準分解可導出以下的描述:
![{\displaystyle H^{1}(G,M)={\dfrac {\{f:G\to M|\forall g,g',\;f(gg')=gf(g')+f(g)\}}{\{f:G\to M:\exists m\,\forall g,\;f(g)=gm-m\}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b82a1efcf5801ac8861b6e2be5035ab6cf52fd0)
準此要領,亦有
![{\displaystyle H^{2}(G,M)={\dfrac {\{f:G^{2}\to M|gf(g',g'')-f(gg',g'')+f(g,g'g'')-f(g,g')=0\}}{\{f:G^{2}\to M:\exists h:G\to M,f(g,g')=gh(g')-h(gg')+h(g)\}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b961924332265f3e6e0fbb19a7668d6bbda5a4)
上述理論有一對偶版本:對於任一
-模
,定義
為形如
的元素生成之子模。考慮從
-模範疇映至阿貝爾群範疇的函子
![{\displaystyle M\to M_{G}:=M/DM=\mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ebbad9f282c9fd5b885d798aec9dc3b6e0e6dbe)
這是一個右正合函子,其導出函子稱為為群同調
。群同調可以藉Tor函子描述為
![{\displaystyle H_{i}(G,M)\simeq \mathrm {Tor} _{i}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c3878938eff97a80b4926b9cac2fa1433619930)
對於有限群,群同調與群上同調可在塔特上同調群的理論下得到一貫的描述。
將上述定義中的
-模
改成一般的群
(未必交換),並帶有
的作用
(稱之為
-群)。此時仍然可以定義第零個及第一個群上同調:
![{\displaystyle H^{0}(G,A):=A^{G}=\{a\in A|\forall g\in G,\;g(a)=a\}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65cc4f592eba88641cd8a71039bebd771522222c)
![{\displaystyle H^{1}(G,A):={\dfrac {\{a_{s}:G\to A|\forall s,t\in G,\;a_{st}=a_{s}s(a_{t})\}}{\{b_{s}:G\to A|\exists a,b_{s}=a^{-1}s(a)\}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/226f35805ebec79251c7193069833fd4728ee1a7)
須留意
並不是群,而是帶有一個指定元素的集合(來自
的單位元素),以下所謂的正合性,都應該在此意義下理解。
若
是
-群的短正合序列,則有長正合序列
![{\displaystyle 1\to A^{G}\to B^{G}\to C^{G}\to H^{1}(G,A)\to H^{1}(G,B)\to H^{1}(G,C)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e013af5888a349f0de0cce5751842ed9ba989494)
若
落在
的中心,此序列右端可再加一項
。
若
為群同態,則可將任一
-模透過
視為
-模,此運算導出上同調之間的映射
![{\displaystyle H^{\bullet }(G,M)\to H^{\bullet }(H,M)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05c9dee2c2e91fdc9308bf783b6f1efe91c5e8ba)
此映射與群上同調的長正合序列相容。當
是
的子群而
是包含映射,導出的映射稱為限制映射,記為 Res。
由於我們假設
為有限群,必有
,此時映射
![{\displaystyle N_{G/H}:M^{H}\to M^{G},\quad N_{G/H}(m):=\sum _{g\in G/H}gm}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9289145a74d866b9a13f2b996b005ccfce2f9fcf)
導出一個上限制映射
。
- 定理.
![{\displaystyle \mathrm {Cor} \circ \mathrm {Res} =(G:H)\mathrm {id} }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f48eb075584b1ad6fbdc8c179bc350618f34ccc7)
若
是平凡的
模(即
),則
中的元素一一對應於
對
的中心擴張的等價類
![{\displaystyle 0\to M\to E{\stackrel {p}{\to }}G\to 1}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d11fc4122d0c68c07fa1bf3239e81a1a90a1aebd)
中心擴張意謂:
是群擴張,而且
落在
的中心內。
具體描述方法是:任取一映射
。
不一定是群同態,但存在函數
使得
。
及
刻劃了
的群結構。不難驗證
滿足
,而
的選取對應於
,所以
僅決定於唯一的一個中心擴張。反之,任一
都來自於某個中心擴張,證畢。
若
是
的正規子群,則有下述譜序列
![{\displaystyle H^{p}(G/N,H^{q}(N,A))\implies H^{p+q}(G,A).\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8daeabb72e2fa11b0a9216978d7243e1a95a701)
對於射影有限群,此式依然成立。
- Hopf, Heinz, Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe, Comment. Math. Helv., 1942, 14: 257––309, MR6510, (原始内容存档于2011-05-24)
- Milne, James, Class Field Theory, 2007 [2007-11-18], (原始内容存档于2012-04-02) , Chapter II
- Rotman, Joseph, An Introduction to the Theory of Groups, Springer-Verlag, 1995, ISBN 978-0-387-94285-8, MR1307623
- Serre, Jean-Pierre, Corps locaux, Paris: Hermann, 1968, ISBN 2-7056-1296-3 , Chapitre VII
- Serre, Jean-Pierre, Cohomologie galoisienne, Lecture Notes in Mathematics 5 Fifth, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994, ISBN 978-3-540-58002-7, MR1324577
- Shatz, Stephen S., Profinite groups, arithmetic, and geometry, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1972, ISBN 978-0-691-08017-8, MR0347778