在數學中,扭對稱矩阵是指一個
的矩阵M(通常佈於實數或複數域上),使之滿足
。
其中
表
的轉置矩陣,而
是一個固定的可逆斜對稱矩陣;這類矩陣在適當的變化後皆能表為
![{\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/440e805fb9f5c91ed02cf6dfa42866972e46de68)
或
![{\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}&&0\\&\ddots &\\0&&{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16464da4fb6f1e7ab82ed0badb0063f369468d97)
兩者的差異僅在於基的置換,其中
是
單位矩陣。此外,
行列式值等於一,且其逆矩陣等於
。
凡扭對稱矩阵皆可逆,其逆矩陣可表為
![{\displaystyle M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{T}\Omega }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/715629084bf562cd47820a0a19f513d204c94ca5)
其中,反對稱矩陣
具有如下運算性質:
,
,
,
。
此外,扭對稱矩阵構成的集合在矩陣乘法下封閉,因此一個域
上的所有
階扭對稱矩阵構成一個群,記為
。事實上它是
的閉代數子群,其維度為
。當
時,
帶有自然的(複)李群結構。
由定義可知扭對稱矩阵的行列式等於
;事實上,可以利用普法夫值的公式:
。
由於
、
,遂導出
。
當
時,有
。換言之:二階扭對稱矩陣即行列式等於一的二階矩陣。
在線性代數的抽象框架裡,我們可以用偶數維向量空間
上的線性變換取代偶數階矩陣,並固定一個非退化反對稱雙線性形
以取代矩陣
(賦有這類雙線性形的空間稱為扭對稱向量空間),如此便得到與基底無關的定義:
- 定義。一個扭對稱向量空間
上的線性變換
若滿足
。
- 則稱
為扭對稱變換。
考慮
,由於
,故
;另一方面,
,於是得到
。由此導出扭對稱變換之行列式值等於一。
固定
的一組基,藉此將
寫成矩陣
,並將
表成斜對稱矩陣
,便回到先前的定義:
。