数学中,霍奇星算子(Hodge star operator)或霍奇对偶(Hodge dual)由苏格兰数学家威廉·霍奇(Hodge)引入的一个重要的线性映射。它定义在有限维定向内积空间的外代数上。
霍奇星算子在 k-形式空间与 (n -k)-形式空间建立了一个对应。一个 k-形式在这个对應下的像称为这个 k-形式的霍奇对偶。k-形式空间的维数是
![{\displaystyle {n \choose k},\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5ca7a4e4a093a2e4d46ba8794725bd49226df9e)
后一个空间的维数是
![{\displaystyle {n \choose n-k},\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2a67082d6deec94cf2bf4ba46d36124e796af1f)
又由二项式系数的对称性,这两个维数事实上相等。两个具有相同维数的形式空间总同构;但不一定有一种自然或典范的方式。但霍奇对偶性利用了向量空间内积和定向,给出了一个特定的同构,因此在代数上这反应了二项式系数的性质。这也在 k-形式空间上诱导了一个内积。“自然”定义意味着这个对偶性关系在理论中可起几何作用。
第一个有趣的情形是在三维欧几里得空间 V。在这种情形,帕斯卡三角形相关行是
- 1, 3, 3, 1
霍奇对偶在两个三维空间之间建立起一个同构,一个是 V 自己,另一个是 V 中两个向量的楔积。具体细节参见例子一节。叉积只是三维的特殊性质,但霍奇对偶在所有维数都有效。
由于一個向量空間上 k 個變量的交錯線性形式空間自然同構于那個向量空間上的 k-向量空間的對偶,霍奇對偶也能對這些空間定義。與線性代數的大部分構造一樣,霍奇對偶可以擴張到一個向量叢。這樣的霍奇對偶特別常見的是在余切叢的外代數(即流形上的微分形式)上,可用來從外導數構造余微分(codifferential),以及拉普拉斯-德拉姆算子,它导致了紧黎曼流形上微分形式的霍奇分解。
一个定向内积向量空间 V 上的霍奇星算子是 V 的外代数(
)上的一个线性算子,是 k-向量子空间(
) 与 (n-k)-向量子空间(
) 之間的線性映射,这里
。它具有如下性质,这些性质完全定义了霍奇星算子:给定一个定向正交基
我们有
![{\displaystyle \star (e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}})=e_{i_{k+1}}\wedge e_{i_{k+2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{n}},}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18df1d7fa6a2c1f70545697d8cd0a4f47b87f8b4)
其中
是
的一個偶排列。
特別是我們有,
![{\displaystyle *(e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{k})=e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge \dots \wedge e_{n}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12af24b056ad6a6415a1ed7fcac3f49151d410f5)
使用指标记法,霍奇对偶由缩并一个 k-形式与 n-维完全反对称列维-奇维塔张量的指标得到。这不同于列维-奇维塔符号有一个额外因子 (det g)½,这里 g 是一个内积(如果 g 不是正定的,比如洛伦兹流形的切空间,则取行列式的绝对值)。
从而有
![{\displaystyle (*\eta )_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n-k}}={\frac {1}{k!}}\eta ^{j_{1},\ldots ,j_{k}}\,{\sqrt {|\det g|}}\,\epsilon _{j_{1},\ldots ,j_{k},i_{1},\ldots ,i_{n-k}},\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c90778337b8b94a30db4028c2fe1e871653993f0)
这里 η 是任意一个反对称 k 阶张量。利用在定义列维-奇维塔张量中同一个内积 g 上升和下降指标。当然也可以对任何张量取星号,所得是反对称的,因为张量的对称分量在与完全反对称列维-奇维塔张量缩并时完全抵消了。
星算子一个常见例子是在 n = 3,可以做为 3 维向量与斜对称矩阵之间的对应。这不明显地使用于向量分析中,例如由两个向量的楔积产生叉积向量。具体地说,对欧几里得空间 R3,容易发现
![{\displaystyle *\mathrm {d} x=\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b71f471ea9a3a654b65728cbbe61e4262470422)
和
![{\displaystyle *\mathrm {d} y=\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7a64eaf35ee1ac48c00789bc0b769caf43cf32d)
以及
![{\displaystyle *\mathrm {d} z=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab571c192c49fc7d21f0f5a575cf62dbd8981886)
这里 dx、dy 与 dz 是 R3 上的标准正交微分1-形式。霍奇对偶在此情形显然对应于三维中的叉积。
当 n = 4 时,霍奇对偶作用在第二外幂(6 维)上是自同态。它是一个对合,从而可以分解为子对偶与反自对偶子空间,在这两个子空间上的作用分别为 +1 和 -1。
另一个有用的例子是 n = 4 闵可夫斯基时空,具有度量符号为 (+,-,-,-,) 与坐标 (t,x,y,z),对1-形式有
![{\displaystyle *\,\mathrm {d} t=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f9c35ed0c91115e8b939ead61832157c4bfd1c2)
![{\displaystyle *\,\mathrm {d} x=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3c62af49526e07310d4cd3552d1d203d8541118)
![{\displaystyle *\,\mathrm {d} y=-\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8b9bf7e5d2004b198cfe1dd74cf3ba65cb7be70)
![{\displaystyle *\,\mathrm {d} z=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e60c6c1305c19b80a29396eeb920bfef4c855711)
对2-形式有
![{\displaystyle *\,\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x=-\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5243b1df01f05238e5f320997eae42a0cab4bcd)
![{\displaystyle *\,\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e693be3d2ce0b04ca6e1ac898a407ff8ad059ab)
![{\displaystyle *\,\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z=-\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/404fca87c0160d319f3dd91ced6351d24faa9403)
![{\displaystyle *\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/232cb19abd348647bd1d6a2e3f290688ed88936a)
![{\displaystyle *\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z=-\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/654fd30f351479c7ad54552d0d1c332e5cbcc70e)
![{\displaystyle *\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152df33b493a9af5454148df43b99a688f6d7bcf)
霍奇对偶在 k-向量空间上诱导了一个内积,即在 V 的外代数上。给定两个 k-向量
与
,有
![{\displaystyle \zeta \wedge *\eta =\langle \zeta ,\eta \rangle \;\omega ,\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ebf1bccbec3edb2bfd96c7baccef847ba52f5a7)
这里 ω 是正规化的体积形式。可以证明
是一个内积,它是半双线性的,并定义了一个范数。反之,如果在
上给了一个内积,则这个等式可以做为霍奇对偶的另一种定义[1]。
本质上,V 的正交基元素的楔积组成了 V 的外代数的一个正交基。当霍奇星号扩张到流形上,可以证明体积形式能写做
![{\displaystyle \omega ={\sqrt {|\det g_{ij}|}}\;dx^{1}\wedge \ldots \wedge dx^{n},\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9918e1226b2794c6eb19f6e5d1a09b6cfa0ce3b8)
其中
是流形的度量。
当作用两次时霍奇星号定义了一个对偶,不考虑符号的话,所得结果是外代数上一个恒等式。给定 n-维空间 V 上一个 k-向量
,我们有
![{\displaystyle **\eta =(-1)^{k(n-k)}s\;\eta ,\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14b20685bb5197f68b150a5485aa64cabc54e9a0)
这里 s 与 V 上内积的符号有关。具体说,s 是内积张量行列式的符号。例如,如果 n = 4 时,若内积的符号是 (+,-,-,-) 或 (-,+,+,+) 则 s = -1。对普通的欧几里得空间,符号总是正的,所以 s = +1。在普通向量空间,这一般不是一个问题。当霍奇星号扩张到伪-黎曼流形上时,上面的内积理解为对角形式的度量。
在一个 n-维定向黎曼或伪黎曼流形上每一点的切空间上可以重复如上构造,将得到 k-形式的霍奇对偶,是一个 n- k 形式。霍奇星号在流形上的微分形式上诱导了一个 L2-范数。对
的空间截面
与
,其内积可写做
![{\displaystyle (\eta ,\zeta )=\int _{M}\eta \wedge *\zeta .\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4e0e250f13f56e059e345fcbfb48aa45a492705)
(截面的集合通常记做
;里面的元素称为外 k-形式。)
更一般地,在非定向情形,我们可以定义 k-形式的霍奇星号维一个 (n - k)-伪微分形式;即取值于典范线丛的一个微分形式。
霍奇星号在流形上最重要的应用是用来定义餘微分 δ。令
![{\displaystyle \delta =(-1)^{nk+n+1}*d*\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/729d239c00ec37d393d77d4fde7adffad340e3c6)
这里 d 是外导数。对黎曼流形 s = +1 。
![{\displaystyle d:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k+1}(M),\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c926b2af0c0da21f0c4c84d9125ee98465834d)
而
![{\displaystyle \delta :\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k-1}(M).\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bcb1a763b16041dafe28d4d0e6e6c8931e01c61)
相比于外导数,餘微分不是外代数上的反导子。
餘微分在是外微分的伴随:
![{\displaystyle \langle \delta \zeta ,\eta \rangle =\langle \zeta ,d\eta \rangle .\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e8ba1f64f6a23fb9a71bf9193989252745ef51)
这个恒等式是因为体积形式 ω 满足 dω = 0,从而
![{\displaystyle \int _{M}d(\zeta \wedge *\eta )=0.\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40465d45946951a783a95fcb9cda6bd7f8d5ae9a)
拉普拉斯–德拉姆算子由
![{\displaystyle \Delta =\delta d+d\delta }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe9d182a656192d2bfd552f68cd2ec3535962b0)
给出,是霍奇理论的核心。它有对称性:
![{\displaystyle \langle \Delta \zeta ,\eta \rangle =\langle \zeta ,\Delta \eta \rangle ,\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c444da145b44291980aac539be2d47cd3b1d5e0)
以及非负:
![{\displaystyle \langle \Delta \eta ,\eta \rangle \geq 0.\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57669cc2506bb539a0a16ccb4390ca3b9ae7d857)
霍奇星号将一个调和形式变成调和形式。作为霍奇定理的一个推论,德拉姆上同调自然同构于调和 k-形式空间,从而霍奇星号诱导了上同调群之间一个同构
![{\displaystyle \star :H_{\Delta }^{k}(M)\to H_{\Delta }^{n-k}(M),\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1fc736b3f681b731ff739979410aa8a899e51d9)
通过庞加莱对偶性,这给出了 Hk(M) 与它的对偶空间的一个典范等价。
算子与外导数
的组合推广了三维经典算子 grad、curl 和 div。具体做法如下:
将一个 0-形式(函数)变成 1-形式,1-形式变成 2-形式,2-形式变成 3-形式(应用到 3-形式变成零)。
1. 对一个 0-形式(
),第一种情形,写成分量与
算子等价:
![{\displaystyle d\omega ={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}dz.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0646585790f3fa315ebbc3b6a8378628b3e785be)
2. 第二种情形后面跟着
,是 1-形式(
)上一个算子,其分量是
算子:
![{\displaystyle d\omega =\left({\partial C \over \partial y}-{\partial B \over \partial z}\right)dy\wedge dz+\left({\partial C \over \partial x}-{\partial A \over \partial z}\right)dx\wedge dz+\left({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y}\right)dx\wedge dy.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dcd4948fe6193b5c2f6da14bf54484199bdab58)
使用霍奇星号给出:
![{\displaystyle \ast d\omega =\left({\partial C \over \partial y}-{\partial B \over \partial z}\right)dx-\left({\partial C \over \partial x}-{\partial A \over \partial z}\right)dy+\left({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y}\right)dz.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36f6a4da1447441787ffbe71b5e27021745d83e3)
3. 最后一种情形,前面与后面都有一个
,将一个 1-形式(
)变成 0-形式(函数);写成分量是
算子:
![{\displaystyle \ast \omega =Ady\wedge dz-Bdx\wedge dz+Cdx\wedge dy}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3319b83e07abe399a798cd0c71900c79e9b766c5)
![{\displaystyle d\ast \omega =\left({\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1a10b098935bee802f389aff068f3735969c5de)
![{\displaystyle \ast d\ast \omega ={\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2f5645be1fd5a8c8b6701a0fb7d687f9164c288)
这些表达式的一个好处是恒等式
,任何情形都成立,将
![{\displaystyle \operatorname {curl} (\operatorname {grad} (f))=\operatorname {div} (\operatorname {curl} (\mathbf {F} ))=0}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5836b34cd942d07776071020bd269dba30580db7)
统一起来了。特别地,麦克斯韦方程组用外导数与霍奇星号表示时,有一个特别简单和优美的形式:
![{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0,\qquad *\mathrm {d} *{\mathbf {F} }=\mathbf {J} .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/651985019c826883756e48751f04a425c8149bec)
这里
是四维洛伦兹时空中某个 2-形式,
是电流 3-形式。
- Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (Provides a basic review of differential geometry in the special case of four-dimensional space-time.)
- Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 . (Provides a detailed exposition starting from basic principles, but does not treat the pseudo-Riemannian case).
- David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, (1981) Addison-Wesley Publishing, New York' ISBN 0-201-10096-7. (Provides condensed review of non-Riemannian differential geometry in chapter 0).