在數學中,隱式方程(英語:implicit equation)是形同
的關係,其中
是多元函數。比如單位圓的隱式方程是
。
隱函数(implicit function)是由隱式方程所隱含定義的函數,比如
是由
確定的函數。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数,也就是通常所说的函数,如
。
隱函數定理說明了隱式方程在什麼情況下會確定出隱函數。
隐函数的一个常见类型是反函数。若
是一个函数,那么
的反函数记作
, 是给出下面方程解的函数
![{\displaystyle x=f(y)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f267ea7d7336d5211547c3ab4c3711c8c3424b05)
用x表示y。这个解是
![{\displaystyle y=f^{-1}(x).}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91c833d5b5563a0d651e66a94201d7fedd30d7b6)
直观地,通过交换f自变量和因变量的位置就可以得到反函数。换一种说法,反函数给出该方程对于
的解
![{\displaystyle R(x,y)=x-f(y)=0.\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f2b56b4ef0a536d614fa456e67830e56c9cc069)
例子
- 对数函数
给出方程
或等价的
的解
。 这里
并且
。
- 朗伯W函數則可以解出
的
值。
一个代数函数是满足自身多项式系数的多项式方程的函数。例如,单变量
的代数函数给出一个方程中
的解。
![{\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5922132550029e6833c36afb5aebee4fe4ccebc1)
其中係數
為
的多項式函數。
代數函數在數學分析和代数几何中扮演重要角色,我們再拿單位圓方程式來當作代數函數的範例:
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0.\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/080500c8f9bdeebb48048ff6de38fe5c119f59d5)
那麼
的顯函數解顯然是:
![{\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c0e57ee2b7d2f1398622f9eafe6d9d652a5e907)
但其實我們不一定要把它的顯函數解寫出來,它也可以直接利用隱函數來表達。
對於y的二次、三次和四次方程,可以找到只包含有限次四則運算和開方運算的顯函數解, 但這并不适用于包括五次在内的更高次数的方程(參見阿贝尔-鲁菲尼定理),例如:
![{\displaystyle y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0.\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f162fed2b7e133de8e337a799fb156ea5fa81c61)
但是,我们仍然可以以隐函数 y = g(x) 的方式来表达。
隐函数导数的求解一般可以采用以下方法:
- 把n元隐函数看作(n+1)元函数,通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。
把一元隐函数
看作二元函数
,若欲求
,對
取全微分,可得
,經過移項可得
(式中
表示
關於
的偏导数
,以此類推)。
把2元隐函数
看作3元函数
,若欲求
,對
取全微分,可得
。
由於所求為
,令z為常數,即
,經過移項可得
- 針對1元隱函數,把
看作
的函数,利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对
求导,再通过移项求得
的值。
- 針對2元隱函數,把
看作
的函数,利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对
求导,令
,再通过移项求得
的值。
- 針對
:
- 針對
:
- 求
中y對x的導數。
為了方便辨別相應的導數部分,各項都以不同顏色分開(常數則以黑色表示)。
1.兩邊皆取其相應的導數,得出
2.移項處理。
3.提出導數因子。
4.移項處理。
5.完成。得出其導數為
。
6.選擇性步驟:因式分解。