馬克士威應力張量
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在電磁學裏,馬克士威應力張量(Maxwell stress tensor)是描述電磁場帶有之應力的二階張量。馬克士威應力張量可以表現出電場力、磁場力和機械動量之間的相互作用。對於簡單的狀況,例如一個點電荷自由地移動於均勻磁場,應用勞侖茲力定律,就可以很容易地計算出點電荷所感受的作用力。但是,當遇到稍微複雜一點的狀況時,這很普通的程序會變得非常困難,方程式洋洋灑灑地一行又一行的延續。因此,物理學家通常會聚集很多項目於馬克士威應力張量內,然後使用張量數學來解析問題。
導引
[编辑]為了方便參考,先列出馬克士威方程組:
名稱 | 微分形式 |
---|---|
高斯定律 | |
高斯磁定律 | |
法拉第感應定律 | |
馬克士威-安培定律 |
其中, 是電場, 是磁場, 是電荷密度,是電流密度, 是電常數, 是磁常數。
從勞侖茲力定律開始,一個電荷分佈所感受到的單位體積的作用力 是
- 。
應用高斯定律和馬克士威-安培定律,把電荷密度和電流密度替換掉,只讓電場和磁場出現於方程式:
- 。
應用乘積法則和法拉第感應定律:
- ,
稍加編排,將 寫為
- 。
為了使 的項目 的項目能夠相互對稱,加入一個 項目:
- 。
應用向量恆等式,對於任意向量
- ,
將 的方程式內的旋度項目除去:
- 。
這方程式最右邊項目涉及了坡印廷向量 :
- 。
設定馬克士威應力張量 (以英文字母上面加兩隻箭矢符號來標記二階張量):
- ;
其中, 是克羅內克函數。
定義一個向量 與馬克士威應力張量 的內積為
- 。
那麼,一個電荷分佈所感受到的單位體積的作用力 是
- 。
馬克士威應力張量的性質
[编辑]馬克士威應力張量是一個對稱張量,表達為
- 。
馬克士威應力張量的單位是牛頓/公尺2。馬克士威應力張量的 ij 元素詮釋為,朝著 i-軸方向,施加於 j-軸的垂直平面,單位面積的作用力;對角元素代表負壓力,非對角元素代表剪應力。對角元素給出張力(拖拉力)作用於其對應軸的垂直面微分元素。不同於理想氣體因為壓力而施加的作用力,在電磁場內的一個面元素也會感受到方向不垂直於其面的剪應力。這是由非對角元素給出的。
動量守恆定律
[编辑]在一個體積 內的電荷,所感受到的總作用力 是
- 。
應用散度定理,可以得到
- ;
其中, 是體積 的閉合表面。
根據牛頓第二定律,
- ;
其中, 是動量。
所以,電荷的動量 可以表達為
- ;
其中, 是儲存於電磁場的動量(坡印廷向量 是由電場和磁場組成的一個複合向量)。
稍加編排,可以得到動量守恆定律的積分方程式:
- 。
動量守恆定律闡明,一個體積的總動量(電荷的動量加上電磁場的動量)的增加速率等於每秒鐘流入閉合表面的動量。負的馬克士威應力張量 是一個動量通量密度。
動量守恆定律也能以微分形式表達為
- ;
其中, 是電荷的動量密度, 是電磁場的動量密度。
相關條目
[编辑]參考文獻
[编辑]- Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 351–356. ISBN 0-13-805326-X.
- Jefimenko, Oleg. Correct Use of Maxwell Stress Equations for Electric and magnetic Fields. American Journal of Physics. Nov 1983, 51 (11): pp. 988–996.[永久失效連結]
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