几何力学
几何力学将特定的几何方法应用于许多力学领域,从质点力学和刚体力学到流体力学和控制论。
几何力学主要适用于构型空间为李群或微分同胚群的系统,更一般地说,适用于构型空间的某些方面具有此种群结构的系统。例如卫星之类刚体的构型空间是欧氏运动群(空间中的平移与旋转),而液晶的构型空间则是与内部状态(规范对称性或有序参数)耦合的微分同胚群。
动量映射与还原
[编辑]几何力学的主要思想之一是还原,可追溯到雅可比在三体问题中对节点的消除;现代形式由K. Meyer (1973)与J.E. Marsden、A. Weinstein (1974)分别独立诠释,都受到Smale (1970)的启发。根据诺特定理,哈密顿或拉格朗日系统的对称性会表现为守恒量,就是动量映射J的分量。若P是相空间,G是对称群,则动量映射为,还原空间是J的水平集对保相关水平集的G子群的商:对,定义,若是J的正则值,则此还原空间是辛流形。
几何积分器
[编辑]力学的重要几何方法是将几何融入数值方法,尤其是辛与变分积分器,特别适于哈密顿和拉格朗日系统的长期积分。
历史
[编辑]“几何力学”偶尔指17世纪的力学。[1]
作为现代学科,其源于1960年代的四部著作:Vladimir Arnold (1966)、Stephen Smale (1970)、Jean-Marie Souriau(1970)、Abraham & Marsden《力学基础》第一版(1967)。Arnold的基础研究表明,自由刚体的欧拉方程是旋转群SO(3)上的测地流方程,并将这一几何见解应用于理想流体动力学中。当中,旋转群内被保体积微分同胚群取代。Smale关于拓扑学与力学的论文研究了对称性的李群作用于动力系统时,诺特定理产生的守恒量,并定义了现在所谓动量映射(Smale称之为角动量),还提出了能量-动量水平面的拓扑及其对动力的影响。Souriau在书中也考虑了由对称群作用产生的守恒量,但他更关心涉及的几何结构(如该动量在一大类对称中的等差性质),而较少涉及动力学问题。 这些观点,尤其Smale的观点是《力学基础》第二版(Abraham & Marsden, 1978)的核心内容。
应用
[编辑]- 计算机图形学
- 控制论 — 见Bloch (2003)
- 液晶 — 见Gay-Balmaz, Ratiu, Tronci (2013) (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- 磁流体动力学
- 分子振荡
- 非完整约束 — 见Bloch (2003)
- 非线性稳定
- 等离子体 — 见Holm, Marsden, Weinstein (1985)
- 量子力学
- 量子化学 — 见Foskett, Holm, Tronci (2019) (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- 超流体
- 热力学 — 见Gay-Balmaz, Yoshimra (2018) (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- 空间探索的轨迹规划
- 水下航行器
- 变分积分器;见Marsden and West (2001)
参考文献
[编辑]- ^ Sébastien Maronne, Marco Panza. "Euler, Reader of Newton: Mechanics and Algebraic Analysis". (页面存档备份,存于互联网档案馆) In: Raffaelle Pisano. Newton, History and Historical Epistemology of Science, 2014, pp. 12–21.
- Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E., Foundations of Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 1978
- Arnold, Vladimir, Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infine et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits (PDF), Annales de l'Institut Fourier, 1966, 16: 319–361 [2023-12-01], doi:10.5802/aif.233
, (原始内容存档 (PDF)于2023-10-12)
- Arnold, Vladimir, Mathematical Methods for Classical Mechanics, Springer-Verlag, 1978
- Bloch, Anthony. Nonholonomic Mechanics and Control. Springer-Verlag. 2003.
- Foskett, Michael S.; Holm, Darryl D.; Tronci, Cesare. Geometry of Nonadiabatic Quantum Hydrodynamics. Acta Applicandae Mathematicae. 2019, 162 (1): 63–103. S2CID 85531406. arXiv:1807.01031
. doi:10.1007/s10440-019-00257-1.
- Gay-Balmaz, Francois; Ratiu, Tudor; Tronci, Cesare. Equivalent Theories of Liquid Crystal Dynamics. Arch. Ration. Mech. Anal. 2013, 210 (3): 773–811. Bibcode:2013ArRMA.210..773G. S2CID 14968950. arXiv:1102.2918
. doi:10.1007/s00205-013-0673-1.
- Holm, Darryl D.; Marsden, Jerrold E.; Ratiu, Tudor S.; Weinstein, Alan. Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria. Physics Reports. 1985, 123 (1–2): 1–116 [2023-12-01]. Bibcode:1985PhR...123....1H. doi:10.1016/0370-1573(85)90028-6. (原始内容存档于2022-01-24).
- Libermann, Paulette; Marle, Charles-Michel. Symplectic geometry and analytical mechanics
. Mathematics and its Applications 35. Dordrecht: D. Reidel. 1987. ISBN 90-277-2438-5. doi:10.1007/978-94-009-3807-6.
- Marsden, Jerrold; Weinstein, Alan, Reduction of Symplectic Manifolds with Symmetry, Reports on Mathematical Physics, 1974, 5 (1): 121–130, Bibcode:1974RpMP....5..121M, doi:10.1016/0034-4877(74)90021-4
- Marsden, Jerrold; Ratiu, Tudor S. Introduction to mechanics and symmetry. Texts in Applied Mathematics 2. New York: Springer-Verlag. 1999. ISBN 0-387-98643-X.
- Meyer, Kenneth. Symmetries and integrals in mechanics. Dynamical systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971). New York: Academic Press. 1973: 259–272.
- Ortega, Juan-Pablo; Ratiu, Tudor S. Momentum maps and Hamiltonian reduction. Progress in Mathematics 222. Birkhauser Boston. 2004. ISBN 0-8176-4307-9.
- Smale, Stephen, Topology and Mechanics I, Inventiones Mathematicae, 1970, 10 (4): 305–331, Bibcode:1970InMat..10..305S, S2CID 189831616, doi:10.1007/bf01418778
- Souriau, Jean-Marie, Structure des Systemes Dynamiques, Dunod, 1970