可分离变量的微分方程
外观
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可分离变量的微分方程也叫做变量分离方程,指的是形如 的方程.
等价定义
[编辑]可化为的方程,称为可分离变量的微分方程.
一般解法(求通解)
[编辑]对,若则 ,两边取不定积分,得 ,这里和理解为某个确定的原函数,为任意常数.
对也是一样的解法.
初值问题(求特解)
[编辑]1.不定积分法
以为例,若给初始条件,则对两边取不定积分,得
,将初始条件代入,求得
,再代回原方程即得所要求的特解.
2.变上限积分法
仍以为例,若给初始条件,对两边取不定积分,得
,其中分别为的一个原函数,代入初始条件,有
,代回原方程得特解为,即
,根据牛顿—莱布尼茨公式,可知
,在不混淆的时候,可写为
.
所以可以用两边取变上限积分的方法求这类初值问题.
若又给条件,将此条件代入,得
,即
.
参考资料
[编辑]1.《常微分方程(第三版)》王高雄、周之铭等编 高等教育出版社
2.《高等数学(第六版)》同济大学
3.《微积分(第二版)》同济大学应用数学系
4.《微积分学习指导书》同济大学应用数学系