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可分离变量的微分方程

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可分离变量的微分方程也叫做变量分离方程,指的是形如 的方程.

等价定义

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可化为的方程,称为可分离变量的微分方程.

一般解法(求通解)

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分离变量法

,若,两边取不定积分,得 ,这里理解为某个确定的原函数,为任意常数.

也是一样的解法.

初值问题(求特解)

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1.不定积分法

为例,若给初始条件,则对两边取不定积分,得

,将初始条件代入,求得

,再代回原方程即得所要求的特解.


2.变上限积分法

仍以为例,若给初始条件,对两边取不定积分,得

,其中分别为的一个原函数,代入初始条件,有

,代回原方程得特解为,即

,根据牛顿—莱布尼茨公式,可知

,在不混淆的时候,可写为

.


所以可以用两边取变上限积分的方法求这类初值问题.


若又给条件,将此条件代入,得

,即

.

参考资料

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1.《常微分方程(第三版)》王高雄、周之铭等编 高等教育出版社

2.《高等数学(第六版)》同济大学

3.《微积分(第二版)》同济大学应用数学系

4.《微积分学习指导书》同济大学应用数学系