哈恩-巴拿赫定理
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在泛函分析中,哈恩-巴拿赫定理是一个极为重要的工具。它允许了定义在某个向量空间上的有界线性算子扩张到整个空间,并说明了存在“足够”的连续线性泛函,定义在每一个賦範向量空間,使对偶空间的研究变得有趣味。这个定理以汉斯·哈恩和斯特凡·巴拿赫命名,他们在1920年独立证明了这个定理。
表述
[编辑]定理的最一般的表述需要一些准备。给定标量體(实数域或复数域)上的一个向量空间,一个函数称为次线性的,如果:
可以很容易证明,上的每一个范数和每一个半范数都是次线性的。其它的次线性函数也可以是很有用的。
哈恩-巴拿赫定理说明,如果是一个次线性函数,是的子空间上的一个线性泛函,满足:
那么存在φ到整个空间的一个线性扩张,也就是说,存在一个线性泛函ψ,使得:
以及:
扩张ψ一般不是由φ唯一指定的,定理的证明也没有给出任何求出ψ的方法:在无穷维空间的情形中,它依赖于佐恩引理——选择公理的一个表述。
我们可以把的次线性条件稍微减弱,只需要:
根据(Reed and Simon, 1980)。这揭示了哈恩-巴拿赫定理与凸性的密切联系。
重要的结果
[编辑]这个定理有一些重要的结果,其中有些也有时称为“哈恩-巴拿赫定理”:
- 如果V是一个赋范向量空间,其子空间为U(不一定是闭的),且φ : U → K是连续和线性的,那么存在φ的一个扩张ψ : V → K,也是连续和线性的,且范数与φ相同(关于线性映射的范数的讨论,参见巴拿赫空间)。也就是说,在赋范向量空间的范畴中,空间是一个内射对象。
- 如果V是一个赋范向量空间,其子空间为U(不一定是闭的),且z是V的一个元素,不在U的闭包内,那么存在一个连续线性映射ψ : V → K,对于U内的所有x都满足ψ(x) = 0,ψ(z) = 1,且||ψ|| = 1/dist(z,U)。
哈恩-巴拿赫分离定理
[编辑]哈恩-巴拿赫定理的另外一种形式,称为哈恩-巴拿赫分离定理。[1][2]它在凸几何中有许多用途。[3]
定理:设为 或上的一个拓扑向量空间,和 是 的非空凸子集。假设。那么:
- 如果是开集,那么存在一个连续线性映射和 ,使得对于所有的和,都有 。
- 如果 是局部凸的, 是紧集,且 是闭集,那么存在一个连续线性映射 和 ,使得对于所有的和,都有 。
与选择公理的关系
[编辑]前面已经提到,从选择公理可以推出哈恩-巴拿赫定理。然而,反过来不成立。注意超滤子引理比选择公理更弱,但从它也可以推出哈恩-巴拿赫定理(反过来则不行)。实际上,哈恩-巴拿赫定理还可以用比超滤子引理更弱的假设来证明。[4]对于可分巴拿赫空间,Brown和Simpson证明了哈恩-巴拿赫定理可以从WKL0——一个二阶算术的弱子系统推出。[5]
参见
[编辑]注释
[编辑]- ^ Klaus Thomsen, 哈恩-巴拿赫分离定理 (页面存档备份,存于互联网档案馆),Aarhus University, 高等分析讲座 (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- ^ Gabriel Nagy, 实分析 (页面存档备份,存于互联网档案馆) 讲座 (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- ^ R. Harvey and H. B. Lawson, "An intrinsic characterisation of Kahler manifolds," Invent. Math 74 (1983) 169-198.
- ^ D. Pincus, The strength of Hahn–Banach's Theorem, in: Victoria Symposium on Non-standard Analysis, Lecture notes in Math. 369, Springer 1974, pp. 203-248. Citation from M. Foreman and F. Wehrung, The Hahn-Banach theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set (页面存档备份,存于互联网档案馆),"Fundamenta Mathematicae" 138 (1991), p. 13-19.
- ^ D. K. Brown and S. G. Simpson, Which set existence axioms are needed to prove the separable Hahn-Banach theorem?, Annals of Pure and Applied Logic, 31, 1986, pp. 123-144. Source of citation (页面存档备份,存于互联网档案馆).
参考文献
[编辑]- Lawrence Narici and Edward Beckenstein, "The Hahn–Banach Theorem: The Life and Times", Topology and its Applications, Volume 77, Issue 2 (1997) Pages 193-211.
- Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6.
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阿尔泽拉-阿斯科利定理 • 贝尔纲定理 • 巴拿赫-阿劳格鲁定理 • 巴拿赫-马祖尔定理 • 开映射定理 • 一致有界性原理 • 閉圖像定理 • 哈恩-巴拿赫定理 • 拉克斯-米尔格拉姆定理