在泛函分析此一數學分支裡,有界線性算子是指在賦範向量空間X 及Y 之間的一種線性變換L,使得對所有X 內的非零向量v,L(v) 的範數與v 的範數間的比值會侷限在相同的數字內。亦即,存在一些M > 0,使得對所有在X 內的v,
![{\displaystyle \|Lv\|_{Y}\leq M\|v\|_{X}.\,\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1df2976c16b86511fd3837fc83d7df271f26edfe)
其中最小的M 稱為L 的算子范数。
。
有界線性算子一般不會是有界函數;後者需要對所有的v,L(v)的範數是有界的,但這只有在Y 為零向量空間時才有可能。然而,有界線性算符為局部有界函數。
一個線性算子為有界的,若且唯若其為連續的。因此有界线性算子也被称为连续线性算子。
- 任何在兩個有限維度賦範空間之間線性算符皆是有界的,且此類算符可以被視為某些固定矩陣的乘積。
- 許多積分變換為有界線性算符。例如,設
![{\displaystyle K:[a,b]\times [c,d]\to {\mathbf {R} }\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723f2e4e4151a2efb9a4c41f4aba3da5dcbc5e5d)
- 為一連續函數,則算符L
![{\displaystyle (Lf)(y)=\int _{a}^{b}\!K(x,y)f(x)\,dx,\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0a64546a9eedf7da4443ea1c63759313a37a894)
- (定義於由在
上的連續函數所組成的空間
,賦予空間
均勻範數的值)是有界的。此一算符實際上也是緊緻的。緊緻算符在有界算符中是很重要的一類。
![{\displaystyle \Delta :H^{2}({\mathbf {R} }^{n})\to L^{2}({\mathbf {R} }^{n})\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f6bfc99c34e25d34f15cb5338fa3ed0f9f2070c)
- (其定義域為索伯列夫空間,值域在由平方可積函數所組成的空間內)是有界的。
- 在由所有實數序列(x0, x1, x2...)(其中
)所組成的l2 空間上的位移算符
![{\displaystyle L(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=(0,x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea05a990689d8f5917c9abc9c62ef5e50e3ae40d)
- 是有界的。其算符範數可輕易地看出為1。
如開頭所述,在賦範空間X 及Y間的線性算子L 是有界的,若且唯若其為連續線性算子。證明如下:
- 設L 是有界的,則對X內的所有向量v 及h(其中的h不為零),會有
。
- 令
趨近於零,即可證明L 在v 是連續的。甚至,因為常數M 不依賴v,可證明L 實際上是均勻連續的(更甚之,還是利普希茨連續的)。
- 反過來,在零向量的連續性,允許存在一個
,使得對所有X 內
的向量h,
。因此,對所有'X 內的非零向量v,會有
![{\displaystyle \|Lv\|=\left\Vert {\|v\| \over \delta }L\left(\delta {v \over \|v\|}\right)\right\Vert ={\|v\| \over \delta }\left\Vert L\left(\delta {v \over \|v\|}\right)\right\Vert \leq {\|v\| \over \delta }\cdot 1={1 \over \delta }\|v\|.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85c8960576e93f1520e4650513fdbc3e1909267e)
- 這證明了L 是有界的。
- Kreyszig, Erwin: Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1989