三角形 ABC 為黑色,從 P 延伸出去的三條垂線為藍色,由此得到的垂足三角形 LMN 為紅色
在幾何學上,垂足三角形(英語:Pedal triangle)是將一個點投影至三角形的邊上所得到的三角形。
具體地說,考慮一個三角形
,選定一個異於頂點
的點
。通過
對三角形的三邊做垂直線,將這些垂直線與
的交點分別命名為
,則三角形
是一個垂足三角形。
如果
不是鈍角三角形,則其垂足三角形
的內角角度分別為
、
、
。[1]
若
點位於三角形
的特殊中心上,則有一些特殊情況:
- 若
是
的垂心,則
是垂心三角形(英語:Orthic triangle)。
- 若
是
的內心,則
是
之內切圓的三個切點。
- 若
是
的外心,則
是中點三角形。
若
點以三角形
為基準的三線坐標是
,則其垂足三角形的頂點
坐標為:
![{\displaystyle L=0:q+p\cos {C}:r+p\cos {B}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/686942632b1e5493e432109f6680eb7ce3dcd408)
![{\displaystyle M=p+q\cos {C}:0:r+q\cos {A}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d76d7fdddbdc7e028c1fffd2649c63f145e5bf1)
![{\displaystyle N=p+r\cos {B}:q+r\cos {A}:0}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03ac409045efee2e9d51aa2f5b7943ce56f00548)
P 在外接圓上的情形,此時垂足三角形退化為一條線(紅色)
卡諾定理:紅色區域與藍色區域的面積相等
若
點位於
的外接圓上,則
共線,反之亦然。這條線被稱為垂足線(英語:Pedal line),又稱為西姆松線(英語:Simson line)。
六點滿足以下等式:[2]
![{\displaystyle {\overline {AN}}^{2}+{\overline {BL}}^{2}+{\overline {CM}}^{2}={\overline {NB}}^{2}+{\overline {LC}}^{2}+{\overline {MA}}^{2}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/167fea38c015107cfcc20a65e412a799a7d9e125)
三角形 ABC 為紅色,從 P 延伸至頂點的三條線為藍色,由此得到的反垂足三角形 LMN 為黑色
過
作一條垂直於
的直線,過
作一條垂直於
的直線,過
作一條垂直於
的直線,則這三條直線構成的三角形稱為反垂足三角形(英語:Antipedal triangle)。在這個反垂足三角形中,設與
相對的頂點為
,與
相對的頂點為
,與
相對的頂點為
。
是
在
點上的垂足三角形,這也是其名稱的由來。
若
點以三角形
為基準的三線坐標是
,則反垂足三角形的頂點
坐標為:[3]
![{\displaystyle A^{\prime }=-(q+p\cos {C})(r+p\cos {B}):(r+p\cos {B})(p+q\cos {C}):(q+p\cos {C})(p+r\cos {B})}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcbbde39d7c3d6145519e905b77530d5f0b61faa)
![{\displaystyle B^{\prime }=(r+q\cos {A})(q+p\cos {C}):-(r+q\cos {A})(p+q\cos {C}):(p+q\cos {C})(q+r\cos {A})}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7efce6d3dbd63d55f969342895a6d8eff55eb579)
![{\displaystyle C^{\prime }=(q+r\cos {A})(r+p\cos {B}):(p+r\cos {B})(r+q\cos {A}):-(p+r\cos {B})(q+r\cos {A})}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93c5a1b6346719eed660ba269c24fc860b87ea05)
一個特殊的例子是,如果
點位於內心,則該反垂足三角形以
的三個旁心為頂點。