在数学中,富比尼–施图迪度量(Fubini–Study metric)是射影希尔伯特空间上一个凯勒度量。所谓射影希尔伯特空间即赋予了埃尔米特形式的复射影空间 CPn。这个度量最先由圭多·富比尼与爱德华·施图迪在1904年与1905年描述。
向量空间 Cn+1 上一个埃尔米特形式定义了 GL(n+1,C) 中一个酉子群 U(n+1)。一个富比尼–施图迪度量在差一个位似(整体缩放)的意义下由这样一个 U(n+1) 作用下的不变性决定;从而是齐性的。赋予这样一个富比尼–施图迪度量后,CPn 是一个对称空间。度量的特定正规化与(2n+1)-球面上的标准度量有关。在代数几何中,利用一个正规化使 CPn 成为一个霍奇流形。
富比尼–施图迪度量自然出现于复射影空间的商空间构造。
具体地,可以定义 CPn 由 Cn+1 中复直线组成的空间,即 Cn+1 在将一点与其所有复数倍联系在一起的等价关系下的商。这与在乘法群 C* = C \ {0} 的对角群作用下的商相同:
![{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}=\{\mathbf {Z} =[Z_{0},Z_{1},\ldots ,Z_{n}]\in {\mathbf {C} }^{n+1}\}/\{\mathbf {Z} \sim c\mathbf {Z} ,c\in \mathbf {C} ^{*}\}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05a5da130d5021f1059a9aad55a349d6ed219e91)
这个商将 Cn+1 实现为底空间 CPn 上的复线丛(事实上这就是 CPn 上所谓的重言丛)。CPn 中的一点等同于 (n+1)-元组 [Z0,...,Zn] 模去非零复缩放的一个等价类;这些 Zi 称为这个点的齐次坐标。
进一步,我们可以分两步实现这个商:因为乘以一个非零复数 z = R eiθ 可以惟一地想成一个以模长 R 为因子的缩放与沿着原点一个逆时针旋转角度
的复合,商 Cn+1→CPn 分成两块。
![{\displaystyle \mathbf {C} ^{n+1}{\stackrel {(a)}{\longrightarrow }}S^{2n+1}{\stackrel {(b)}{\longrightarrow }}\mathbf {CP} ^{n}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8ca5c5306adcd2c12e2a738da35c4e6c791ca76)
其中第 (a) 步以正实数乘法群 R+ 的缩放 Z ~ RZ,这里 R ∈R+,作商;步骤 (b) 是关于旋转 Z ~ eiθZ 的商。
第 (a) 步所得的商是由方程 |Z|2 = |Z0|2 + ... + |Zn|2 = 1 所定义的实超球面 S2n+1。第 (b) 步的商实现为 CPn = S2n+1/S1,这里 S1 表示旋转群。这个商由著名的霍普夫纤维化S1 → S2n+1 → CPn实现 ,纤维属于
中的大圆。
当取一个黎曼流形(或一般的度量空间)的商时,必须小心确认商空间赋有一个良定义的度量。例如,如果群 G 作用在黎曼流形 (X,g)上,则为了是轨道空间 X/G 拥有一个诱导度量,
沿着 G-轨道必须是常值,这便是说对任何元素 h ∈ G 以及一对向量场
必须有 g(Xh,Yh) = g(X,Y)。
'Cn+1 上标准埃尔米特度量在标准基下为
![{\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {Z} \otimes d{\overline {\mathbf {Z} }}=dZ_{0}\otimes d{\overline {Z_{0}}}+\cdots +dZ_{n}\otimes d{\overline {Z_{n}}}.\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9846a8b0917f5ffae125ab4e419a12bec8acd1cb)
它的实化是 R2n 上标准欧几里得度量。这个度量在 C* 的作用下没有不变性,所以我们不能直接将其推下到商空间 CPn 中。但是,这个度量在旋转群 S1 = U(1) 的对角作用下是不变的。从而,上面构造中的步骤 (b) 是可能的只要完成步骤 (a)。
富比尼–施图迪度量是在商CPn = S2n+1/S1 上诱导的度量, 其中
带着所谓的“圆度量”,是标准欧几里得度量在单位超球面上的限制。
对应于 CPn 中具有齐次坐标(Z0,...,Zn) 的一点,只要 Z0 ≠ 0,存在惟一 n 个坐标集合 (z1,…,zn) 使得
![{\displaystyle [Z_{0},\dots ,Z_{n}]\sim [1,z_{1},\dots ,z_{n}],}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da3ddf60eeaa5cd663a6221ad423d47d12f58727)
特别地 zj = Zj/Z0。这个 (z1,…,zn) 组成 CPn 在坐标片 U0 = {Z0 ≠0 } 上的一个仿射坐标系。在任意坐标片 Ui={Zi≠0} 上通过除以 Zi,得到一个仿射坐标系。这 n+1 个坐标片 Ui 盖住了 CPn,在 Ui 上可以利用仿射坐标系 (z1,…,zn) 给出度量的具体表达式。坐标导数定义了 CPn 全纯切丛的一个标架
,利用它们富比尼–施图迪度量具有埃尔米特分量
![{\displaystyle h_{ij}=h(\partial _{i},\partial _{j})={\frac {(1+|\mathbf {z} |^{2})\delta _{ij}-{\bar {z}}_{i}z_{j}}{(1+|\mathbf {z} |^{2})^{2}}}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c64048651113ecab242b36df17ae62c0d1a2a6)
这里|z|2 = z12+...+zn2。这样,富比尼–施图迪度量在这个标架下的埃尔米特矩阵是
![{\displaystyle {\bigl (}h_{ij}{\bigr )}={\frac {1}{(1+|\mathbf {z} |^{2})^{2}}}\left[{\begin{array}{cccc}1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{1}|^{2}&-{\bar {z}}_{1}z_{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{1}z_{n}\\-{\bar {z}}_{2}z_{1}&1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{2}|^{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{2}z_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-{\bar {z}}_{n}z_{1}&-{\bar {z}}_{n}z_{2}&\cdots &1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{n}|^{2}\end{array}}\right]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/404698019eb2ce2743fa4e354339c3282b10a622)
注意每个矩阵元素是酉不变的:对角作用
不会改变这个矩阵。
对应地,线元素为
![{\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {(1+|\mathbf {z} |^{2})|d\mathbf {z} |^{2}-({\bar {\mathbf {z} }}\cdot d\mathbf {z} )(\mathbf {z} \cdot d{\bar {\mathbf {z} }})}{(1+|\mathbf {z} |^{2})^{2}}}\\&={\frac {(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})dz_{j}d{\bar {z}}^{j}-{\bar {z}}^{j}z_{i}dz_{j}d{\bar {z}}^{i}}{(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})^{2}}}.\end{aligned}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1301d4423157cc471c0f9068df5688526be37a)
在最后的表达式中,使用了爱因斯坦求和约定,拉丁字母指标 i 和 j 从 1 求到 n。
在齐次坐标 Z = [Z0,...,Zn] 中也有相应的表达式。形式上,我们有
![{\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {|\mathbf {Z} |^{2}|d\mathbf {Z} |^{2}-({\bar {\mathbf {Z} }}\cdot d\mathbf {Z} )(\mathbf {Z} \cdot d{\bar {\mathbf {Z} }})}{|\mathbf {Z} |^{4}}}\\&={\frac {Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }dZ_{\beta }d{\bar {Z}}^{\beta }-{\bar {Z}}^{\alpha }Z_{\alpha }dZ_{\beta }d{\bar {Z}}^{\beta }}{(Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha })^{2}}}\\&=2{\frac {Z_{[\alpha }dZ_{\beta ]}{\overline {Z}}^{[\alpha }{\overline {dZ}}^{\beta ]}}{\left(Z_{\alpha }{\overline {Z}}^{\alpha }\right)^{2}}}.\end{aligned}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5c010751432ab7df67443f2dd11471d2b1c22bd)
上面所涉及表达式需合适地理解。上面使用了求和约定,希腊字母指标从 0 求到 n,最后一个等式使用了一个张量的反对称部分的标准记号:
![{\displaystyle Z_{[\alpha }W_{\beta ]}={\frac {1}{2}}\left(Z_{\alpha }W_{\beta }-Z_{\beta }W_{\alpha }\right).}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ca1668ed5c8bdb979877b7c79091b3f9d53faf4)
现在,ds2 的这个表达式显然在重言丛 Cn+1\{0} 的全空间上定义了一个张量。通过沿着 CPn 上重言丛的一个全纯截面 σ 拉回为 CPn 上一个张量。还需验证拉回值与界面的选取无关:这可以直接计算。
差一个整体正规化常数,这个度量的凯勒形式为
![{\displaystyle \omega =i\partial {\overline {\partial }}\log |\mathbf {Z} |^{2}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e6465e65a7a5368e7d4769236e7937b6c18991)
其拉回显然与全纯界面的选取无关。量 log|Z|2 是 CPn 的凯勒数量。
当 n = 1,有由球极投影给出的微分同胚
。这导致了特殊的霍普夫纤维化 S1→S3→S2。当在 CP1 中的坐标系写出富比尼–施图迪度量,它在实切丛上的限制得出 S2 上半径 1/2 的通常圆度量。
具体地,如果 z = x + iy 是黎曼球面 CP1 上标准仿射坐标卡,且x=rcosθ, y = rsinθ 是 C 上的极坐标,则一个简单的计算表明
![{\displaystyle ds^{2}={\frac {dz\;d{\overline {z}}}{\left(1+|z|^{2}\right)^{2}}}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}={\frac {1}{4}}(d\phi ^{2}+\sin ^{2}\phi \,d\theta ^{2})={\frac {1}{4}}ds_{us}^{2}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bed5e51b8d4ef1edd8ddd7475d1e79b93146f05d)
这里
是单位 2-球面上的圆度量。其中 φ, θ 是由球极投影 r tan(φ/2) = 1, tanθ = y/x 给出的 S2 “数学家的”球坐标(许多物理学家偏向于将 φ 和 θ互换)。
在 n = 1 的特例,富比尼–施图迪度量具有恒等于 4 的数量曲率,因为它与 2-球面的圆度量等价(半径 R 球面的数量曲率是
)。但是,对 n > 1,富比尼–施图迪度量没有常曲率。其截面曲率由下列方程给出[1]
![{\displaystyle K(\sigma )=1+3\langle JX,Y\rangle ^{2}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8972caf220b753a776a45aa0bbdcbdf2589fc58a)
这里
是 2-维平面 σ 的一个标准正交基,J : TCPn → TCPn 是 CPn 上的复结构,而
是富比尼–施图迪度量。
这个公式的一个推论是任何 2-维平面
的截面曲率满足
。最大的截面曲率 (4) 在一个全纯 2-维平面得到——对这样的平面有 J(σ) ⊂ σ ——而最小截面曲率 (1) 在 J(σ) 垂直于 σ 的2-维平面 σ 得到。因此,富比尼–施图迪度量经常称为有等于 4 的常全纯截面曲率。
这使 CPn 成为一个(非严格的)四分之一拼挤流形;一个著名的定理指出严格四分之一拼挤单连通 n-流形一定同胚于球面。
富比尼–施图迪度量也是一个爱因斯坦度量,它与里奇张量成比例:存在一个常数 λ 使得对所有 i,j 我们有
![{\displaystyle Ric_{ij}=\lambda g_{ij}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa060131e003b59b933fd93e81610bcb4ccc538)
除此以外,这蕴含着,在差一个数量相乘的意义下,富比尼–施图迪度量在里奇流下不变。这也使
CPn 与广义相对论不可分离,它是真空爱因斯坦方程的一个非平凡解。
富比尼–施图迪度量可以用量子力学中广泛使用的狄拉克符号,或代数几何中的射影簇记号来定义。为了将两种语言清楚地等同起来,令
![{\displaystyle \vert \psi \rangle =\sum _{k=0}^{n}Z_{k}\vert e_{k}\rangle =[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55a69fef50eeb2171ccb65bc161a7c4dfa5483c8)
这里
是希尔伯特空间的一个正交规范基向量集合,
是复数,而
是射影空间
中一点在齐次坐标中的标准记号。那么,给定空间中两点
与
,它们之间的距离是
![{\displaystyle \gamma (\psi ,\phi )=\arccos {\sqrt {\frac {\langle \psi \vert \phi \rangle \;\langle \phi \vert \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle \;\langle \phi \vert \phi \rangle }}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a78cafffee574612d6c4cc06122a0a25f504b4b)
或等价地,在射影簇记号中,
![{\displaystyle \gamma (\psi ,\phi )=\gamma (Z,W)=\arccos {\sqrt {\frac {Z_{\alpha }{\overline {W}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\overline {Z}}^{\beta }}{Z_{\alpha }{\overline {Z}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\overline {W}}^{\beta }}}}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0ec9b4ca380125efe7c620bc9e345bebe373226)
这里
是
的复共轭。分母中出现的
提醒了
以及类似的
不是单位长规范化的;故这里明确地做了一个规范化。在希尔伯特空间中,此度量可相当平凡地理解为两个向量之间的角度;故它又称为量子角(quantum angle)。这个角度是实值的,取值于零到
。
通过取
,或等价地
,马上可以等到这个度量的无穷小形式
![{\displaystyle ds^{2}={\frac {\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle }}-{\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;\langle \psi \vert \delta \psi \rangle }{{\langle \psi \vert \psi \rangle }^{2}}}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a30d6275e82cd71d878614d2ee2816d0511d1f7)
在量子力学中,CP1 叫做布洛赫球面;富比尼–施图迪度量是量子力学几何化的自然度量。量子力学的许多独特的行为,包括量子纠缠和贝里相位(Berry phase)效应,可以归于富比尼–施图迪度量的特性。
通常的可分性概念适用于富比尼–施图迪度量。更准确地讲,此度量在射影空间的自然乘积塞格雷嵌入中是可分的。这是说如果
是一个可分态,从而可以写成
,则度量是子空间上度量之和:
![{\displaystyle ds^{2}={ds_{A}}^{2}+{ds_{B}}^{2}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff4763c70ba0dc0e696bc56af8010e1802e5317e)
这里
和
是在子空间 A 与 B 上各自的度量。
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- Griffiths, P.; Harris, J., Principles of Algebraic Geometry, Wiley Classics Library, Wiley Interscience: 30–31, 1994, ISBN 0-471-05059-8
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