对偶范数是数学中泛函分析里的概念。考虑一个赋范向量空间的对偶空间时,常常需要给对偶空间赋以合适的几何架构。对偶范数是一种自然的赋范方式。
给定一个系数域为
赋范向量空间(比如说一个巴拿赫空间)E(其中
通常是实数域
或复数域
),所有从E到
上的连续线性映射(也称为连续线性泛函)的集合称为E的(连续)对偶空间,记作:E' .
可以证明,E′是一个向量空间。其上可以装备不同的范数。对偶范数(
)是一种自然的范数定义方式,定义为:
![{\displaystyle \forall f\in E',\;\;\|f\|'=\sup \left\{|f(x)|;\;\|x\|\leqslant 1\right\}=\sup \left\{{\frac {|f(x)|}{\|x\|}};x\neq 0\right\}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3654c8888a5f660e29de3ab7fa47e9b6c3ea63b1)
由于E′中的元素的是连续线性泛函,所以按照以上定义的范数必然存在,是一个有限正实数。引进了对偶范数後,E′成为一个赋范线性空间。可以证明,E′在对偶范数下必然是完备的,所以E′是巴拿赫空间。
证明:
给定一个由E′中元素构成的柯西序列:
,其中每一个
都是E-线性泛函。由柯西序列的定义可知,
使得![{\displaystyle \forall n,m>N,\;\;\|f_{n}-f_{m}\|'<\epsilon .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fea2ea1c56427f92a172d20fad7fb51ba85b84ed)
所以对E中任何元素x,都有:
![{\displaystyle \forall n,m>N,\;\;|f_{n}(x)-f_{m}(x)|=|(f_{n}-f_{m})(x)|\leqslant \|f_{n}-f_{m}\|'\|x\|<\epsilon \|x\|.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d80b7731aa084a4a57849f3bf76ad3b3c7db8e)
这说明
是柯西数列,因而收敛:数列的极限存在。定义函数
如下:
![{\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x).}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d474ece10df0d4e178777ab37e27c95451881805)
这样定义的函数f 是连续线性泛函,属于E′。事实上:
- f 是线性映射:
![{\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ,\;\;x,y\in E,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c26035b5bf95ed3278c295063a6df8c5787685f)
![{\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(\alpha x+\beta y)=\lim _{n\to \infty }\left[\alpha f_{n}(x)+\beta f_{n}(y)\right]=\alpha \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)+\beta \lim _{n\to \infty }f_{n}(y)=\alpha f(x)+\beta f(y).}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ee2cb373e916277844f0b6a6759c2f46eecf4f)
- f 是连续映射:
- 将
定为1,则存在
,使得
,都有
,这说明:
因此,
都有![{\displaystyle |f_{n}(x)|\leqslant \|f_{n}\|'\|x\|\leqslant \|f_{n}\|'\leqslant \|f_{N_{1}}\|'+1.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab4a0c7cbb3c58efc99b5e571373ee58da4b1921)
- 当
趋向无穷大时,就有:
。这说明f 是连续映射。
最后证明f 是序列
在对偶范数下的极限:
- 给定
,总能找到
,使得:
所以,![{\displaystyle \forall x\in E,\;\;\|x\|\leqslant 1,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8abae8cba5f3a293f1e091a06b02c3d54e60b7a4)
![{\displaystyle |f_{n}(x)-f_{m}(x)|\leqslant \|f_{n}-f_{m}\|'\|x\|\leqslant \|f_{n}-f_{m}\|'<\epsilon .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3de3bc3b71c990ffeb9615884c009643fd56a55)
- 当
趋向无穷大时,就有:![{\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leqslant \epsilon .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e77675fd4918f9e7a5574cef093357194232b9)
- 因此,
![{\displaystyle \forall n>N,\;\;\|f_{n}-f\|'=\sup\{|f_{n}(x)-f(x)|;\;\|x\|\leqslant 1\}\leqslant \epsilon .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0be2b77aa2868ba5296ec063db8f96616007c3f4)
这说明序列
在对偶范数下收敛到f。所以E′是完备空间。
给定两个大于1的实数p和q。如果两者满足:
,那么序列空间
和
互相是对偶空间(在同构的意义上)。
装备的是序列p-范数之时,它的对偶空间装备的对偶范数可以和装备了序列q-范数的
建立等距同构。当
时,以上性质说明,
和自身对偶。