希爾伯特第七問題
外观
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希爾伯特第七問題是希爾伯特的23個問題之一,此問題涉及無理數及超越數。
命題敘述
[编辑]給定以下兩個等價[1]敘述:
問題的解決
[编辑]第二個問題已于1934年由蘇聯數學家阿勒克山德·格爾豐德證明,德國數學家西奧多·施耐德也在1935年獨立證明此問題,他們證明的結果即為格尔丰德-施奈德定理(是無理數的條件是必要的,否則若a是代數數,b是有理數,一定是代數數)。
若以廣義的觀點來看,這是通用的對數線性形(linear form in logarithms)的一個例子
格尔丰德曾研究對數線性形,後來被艾倫·貝克解決了,此稱為是格尔丰德猜想或是貝克定理。艾倫·貝克憑藉此一成果獲得1970年的菲爾茲獎。
在第二個問題成立後,也意味著第一個問題成立。
參照
[编辑]- 格爾豐德-施奈德常數 。
- 格尔丰德常数 。
參考資料
[编辑]- ^ Feldman; Nesterenko. Number Theory IV. Parshin, A. N. (编). Transcendental Numbers. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 1998: 146–147. ISBN 978-3-540-61467-8.
文獻
[编辑]- Tijdeman, Robert. On the Gel'fond–Baker method and its applications. Felix E. Browder (编). Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. XXVIII.1. American Mathematical Society. 1976: 241–268. ISBN 978-0-8218-1428-4. Zbl 0341.10026.
- Manin, Yu. I.; Panchishkin, A. A. Introduction to Modern Number Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences 49 Second. 2007: 61. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002.