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区间[0,1]上的康托尔函数
在数学中,以数学家格奥尔格·康托尔命名的康托尔函数,是一个一致连续,却不绝对连续的函数。
康托尔函数 c : [0,1] → [0,1] ,对于x∈[0,1],其函数值c(x)可由以下步骤得到:
- 以三进制表示x。
- 如果x中有数字1,就将第一个1之后的所有数字换成0。
- 将所有数字2换成数字1。
- 以二进制读取转换之后的数,这个数即为c(x)。
例如:
- 1/4以三进制表示为0.020202...,其中并没有1,因此经过第二步仍然是0.020202...,第三步转换为0.010101...,将其视为二进制,则为1/3,因此c(1/4)=1/3。
- 1/5以三进制表示为0.01210121...,第二步转换为0.01,由于其中没有2,因此经过第三步后仍是0.01,视为二进制则为1/4,因此c(1/5)=1/4。
- 200/243以三进制表示为0.21102(即0.2110122222...),第二步转换为0.21,第三步转换为0.11,视为二进制则为3/4,因此c(200/243)=3/4。
若在[0, 1]上定义的f(x)满足下列四个条件,则f(x)即为康托尔函数:[1]
![{\displaystyle \forall 0\leq x<y\leq 1,f(x)\leq f(y)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b0f8b23a1128b8bfc2375677198a725bb548a1)
![{\displaystyle f(0)=0}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d308c32c9894b88115262081194321ae7d9bbf3)
![{\displaystyle f({\frac {1}{3}}x)={\frac {1}{2}}f(x)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae188771f36706e73e5c00f6a9c2f621fdbd9a96)
![{\displaystyle f(1-x)=1-f(x)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c17b8f10783d141cb06d8f25b4947ee9270cdd09)
下面我们构造一个函数序列{fn(x)},这个序列将收敛于康托尔函数:
首先定义
![{\displaystyle f_{0}(x)=x}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bef29dc047096185caf3dcdaf15420aa7ba4f38)
接下来,对于每个正整数n,函数fn+1(x)都由函数fn(x)定义:
![{\displaystyle f_{n+1}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\times f_{n}(3x)&{\mbox{if }}0\leq x<{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}{\frac {1}{3}}\leq x<{\frac {2}{3}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\times f_{n}(3x-2)&{\mbox{if }}{\frac {2}{3}}\leq x\leq 1\end{cases}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d553e39d072bf3f0abd39941f50ef2b0cbb39eb)
检查 fn(x)是否每个点都收敛于之前定义的康托尔函数,我们可以发现,
![{\displaystyle \max _{x\in [0,1]}|f_{n+1}(x)-f_{n}(x)|\leq {\frac {1}{2}}\,\max _{x\in [0,1]}|f_{n}(x)-f_{n-1}(x)|,\quad n\geq 1.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7acaa19c93f0ab49392691dfffce664ab89d1e14)
设f(x)是极限函数, 那么对于任意非负整数n都有,
![{\displaystyle \max _{x\in [0,1]}|f(x)-f_{n}(x)|\leq 2^{-n+1}\,\max _{x\in [0,1]}|f_{1}(x)-f_{0}(x)|.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1b4bde40fc0cfc15e77ef2205a2ea62dd9a68eb)
另外可以注意到只要满足f0(0) = 0, f0(1) = 1 且f0 有界,起始函数f0(x)具体是什么函数并不重要。
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Cantor Function. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2014-01-23]. (原始内容存档于2019-02-14) (英语).