循環小數 =0.142857142857…
循环小数,也稱為無限循環小數,是從小數部分的某一位起,一個數字或幾個數字,依次不斷地重複出現的小數。
循環小數都為有理數的小數表示形式,例:
- 一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。若该数为素数,循环节位数一定是N-1的因数(参见:费马伪素数)。為了证明这点,可用反证法。假设
的循环节为m,令m>n。将1/n乘以10,循环往复操作,会得到不同的余数。根据余数定义,余数的个数等于分母本身。又因为当余数为0的时候是整数而非循环小数,所以只有n-1种循环节。若长度为m位,则必有(m-n+1)种循环节无法轮替,所以一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。
- 根據分數
的情況分開討論
- 1.除数a为
的倍數时,
有max(m,n)个不循环位数,其中
為任意自然數,
為非
之其他數。
- 2.如果
,a不是2或5的倍数,並且a與b互質,那麼存在一個正整數e,e為
的循環節位數,而e=
。[1]
表示
可以整除a,或稱
與1同餘)
- 事實上以該參考文獻的定理一公式推導式子:
來看,
也成立,例如
與
,兩者循環小數一致,因為
,只差別在商,餘數皆為1(同餘)故成立。
- 3.承接以上兩點,當除数a可以質因數標準分解式表示成
⋯
時,會有max(m,n)個不循環位數,和
個循環節位數。
- 其中,
,
,⋯,
分別各有e1,e2,...,en個循環節位數,存在一個最小公倍數
e1,e2,...,en
。
- 例:
的循環節個數?
- 答:前三位不循環(2 和 5 的最高次方為 3),循環節個數是 48(因為
的循環節位數為1,7的循環節位數為6,17的循環節位數為16,[1,6,16]=48)[2]
0.xxx...=x/((10^(上取(log(x))))-1)
(可能未約至最簡)
(⬇另一方法)
- 先看有幾位「非循環節位數(
)」和「循環節位數(
)」,算出後,將
擺於「分母」。
- 「分子」則是將「非循環節部分」和「循環節部分」併為一個數字,將其減去「非循環節部分」,即
,詳細公式如下。
- 公式:
![{\displaystyle 0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{\color {blue}n\,\!}{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{\color {red}m\,\!}}}={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb5aaaf0393f76000c82e5983cb61e678bc8588)
- 原理:
- 令
。
- 則
──①式。
──②式。
- ②-①⇒
。
。
- 範例:
。
- 令
![{\displaystyle x=0.1{\overline {23}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f976317219513ea7ad50b4b69181107bf9d24b32)
- 則
、![{\displaystyle 1000x=123.{\overline {23}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef657cb4ebcc232057867c6fed2c7c03d53ca80)
- 兩式相減得
,![{\displaystyle 990x=122\,\!}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f6f6e174c313bc0119e381fcdc0f7f8ede2731c)
- ∴
。
利用短除法可以将分数(有理数,
)转化为循环小数。
例如
可以用短除法计算如下:
7|3.00000000000000000
0.42857142857142857...
在不同的国家地区对循环小数有不同的表示习惯。
使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性,例如
由于循环小数与進位制系統密切相关,使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如:
但在某些进位制当中反而因为循环节较短,使得看起来相当简单。如
又或
- ^ 康明昌. 循環小數 (PDF). 數學傳播. 2001年9月, 25 (3) [2014-12-28]. (原始内容 (PDF)存档于2021-11-04).
- ^ 質數循環節的位數 (PDF). [2008-08-18]. (原始内容 (PDF)存档于2017-01-12).