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控制变量法

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控制变量法(英語:control variates)是在蒙特卡洛方法中用于减少方差的一种技术方法。该方法通过对已知量的了解来减少对未知量估计的误差。

原理

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假设要估计的参数为。同时对于统计,其期望值,即无偏差估计。此时,对于另一个统计,已知。于是,

也是的无偏差估计,为任一给定系数。的方差为

可以证明,使得方差最小的系数

此时,对应的方差则为

其中

之间的相关系数越大时,方差越小。

未知时,可以通过蒙特卡洛模拟进行估计。由于该方法相当于一个最小二乘法系统,又被称为回归抽样regression sampling)。

示例

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假设我们要使用蒙特卡洛方法估计

即估计

的期望值。其中,满足均匀分布。假设有n样本,该估计可表示为

此时,我们引入控制变量,其已知期望值为。由此,可以得到新的估计

以下为并使用估计的最优系数时,一次蒙特卡洛模拟所给出的积分估计值:

估计 标准差
普通模拟 0.69475 0.01947
控制变量法 0.69295 0.00060

参考文献

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  • Ross, Sheldon M. (2002) Simulation 3rd edition ISBN 978-0-12-598053-1
  • Averill M. Law & W. David Kelton (2000), Simulation Modeling and Analysis, 3rd edition. ISBN 0-07-116537-1
  • S. P. Meyn (2007) Control Techniques for Complex Networks, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88441-9. Downloadable draft (Section 11.4: Control variates and shadow functions)