整数,在電腦應用上也稱為整型,是序列
中所有的数的统称,包括负整数、零(0)与正整数。和自然數一樣,整數也是一個可數的無限集合。這個集合在数学上通常表示粗體
或
,源于德语单词Zahlen(意为“数”)的首字母。
在代數數論中,這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數,用以和高斯整數等的概念加以區分。
整數是一个集合,通常可以分为正整數、零(0)和負整數。正整數(符号:Z+或
)即大於0的整數,是正数与整数的交集。而負整數(符号:
或
)即小於0的整數,是负数与整数的交集。和整數一样,两者都是可數的無限集合。除正整數和負整數外,通常将0與正整數统称为非負整數(符号:Z+0或
),而将0與負整數统称为非正整數(符号:Z-0或
)。在数论中自然数
通常被视为与正整數等同,即1,2,3等,但在集合论和计算机科学中自然数则通常是指非负整数,即0,1,2等。
下表给出任何整数
的加法和乘法的基本性质。
性質 |
加法 |
乘法
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封闭性
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是整数 |
是整数
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结合律
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![{\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44038eb287a7d11c82ecf1642362bff63a012b2f) |
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交换律
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![{\displaystyle a+b=b+a}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684f43b5094501674e8314be5e24a80ee64682e3) |
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存在单位元
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![{\displaystyle a+0=a}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4564e28f0f8274644ca4e58664c0593ed48de541) |
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存在逆元
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![{\displaystyle a+(-a)=0}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bee04ca35f37fa95ee387e42959af9038fb8251) |
在整数集中,只有1或-1对于乘法存在整数逆元,其余整数 关于乘法的逆元为 ,都不为整数。
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分配律
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全体整数关于加法和乘法形成一个环。环论中的整环、无零因子环和唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。
是一个加法循环群,因为任何整数都是若干个1或-1的和。1和-1是
仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与
同构。
是一个全序集,没有上界和下界,其序列如下:
![{\displaystyle \ldots <-2<-1<0<1<2<\ldots }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8482a11eaa12b3cc3d4aa07890acb595563dd8d1)
一个整数大于零则为正,小于零则为负。零既非正也非负。
整数的序列在代数运算下是可以比较的,表示如下:
- 若
且
,则
(加法)
- 若
且
,则
;若
,则
(乘法)
整数环是一个欧几里德域。
的基數
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的基數(或勢)是ℵ0,與
相同。這可以從
建立一雙射函數到
來證明,亦即該函數要同時滿足單射及滿射的條件,例如:
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}2x+1,&{\mbox{if }}x\geq 0\\2|x|,&{\mbox{if }}x<0\end{cases}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6025ceab390ffb7b3f31f16aa3632411e019b59)
當該函數的定義域僅限於
,則證明
與
可建立一一對應的關係,即兩集等勢。
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| 可數集 |
- 自然数 (
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- 整数 (
)
- 有理数 (
)
- 規矩數
- 代數數 (
)
- 周期
- 可計算數
- 可定义数
- 高斯整數 (
)
- 艾森斯坦整数
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| 合成代數 |
- 可除代數:实数 (
)
- 複數 (
)
- 四元數 (
)
- 八元数 (
)
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| 凯莱-迪克森结构 |
- 实数 (
)
- 複數 (
)
- 四元數 (
)
- 八元数 (
)
- 十六元數 (
)
- 三十二元數
- 六十四元數
- 一百二十八元數
- 二百五十六元數……
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| 分裂 形式 | |
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| 其他超複數 | |
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| 其他系統 | |
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