柯西-施瓦茨不等式,又稱施瓦茨不等式或柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式,在多個数学领域中均有應用的不等式;例如線性代數的矢量,數學分析的無窮級數和乘積的積分,和概率論的方差和協方差。它被认为是最重要的数学不等式之一。它有一些推广,如赫尔德不等式。
不等式以奧古斯丁·路易·柯西(Augustin Louis Cauchy),赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨(Hermann Amandus Schwarz),和維克托·雅科夫列維奇·布尼亞科夫斯基(Виктор Яковлевич Буняковский)命名。
是個複内积空间,則對所有的
有:
- (a)
![{\displaystyle \|v\|\|w\|\geq |\langle v,\,w\rangle |}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d463671696b5240bd7dfc24d0407f0828690e83)
- (b)
存在
使 ![{\displaystyle v=\lambda \cdot w}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bec3fc45401029bc86b3a6fa43a81466ed35003)
證明請見内积空间#范数。
對歐幾里得空間Rn,有
。
等式成立時:
![{\displaystyle {\frac {x_{1}}{y_{1}}}={\frac {x_{2}}{y_{2}}}=\cdots ={\frac {x_{n}}{y_{n}}}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8ddfb23d17717f522c969336b3e3691bc7b347b)
也可以表示成
證明則須考慮一個關於
的一個一元二次方程式
很明顯的,此方程式無實數解或有重根,故其判別式
注意到
⇒
則
即
而等號成立於判別式
時
也就是此時方程式有重根,故
。
這兩例可更一般化為赫爾德不等式。
。
- 这是
![{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)-\left(\sum _{1\leq i<j\leq n}(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i})^{2}\right)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0b6866b5edef8280243f1965df5f76553ed571f)
- 在n=3 时的特殊情况。
对于平方可积复值函数的内积空间,有如下不等式:
赫尔德不等式是该式的推广。
设
为列向量,则
[a]
時不等式成立,设
非零,
,则![{\displaystyle x^{*}z=0}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/577b356c5a6070f481ef313532d42fdf4b491de4)
![{\displaystyle 0\leq \|z\|^{2}=z^{*}y=\|y\|^{2}-{\cfrac {x^{*}y}{\|x\|^{2}}}x^{*}y=\|y\|^{2}-{\cfrac {|x^{*}y|^{2}}{\|x\|^{2}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c912f2c95fab6c5c0284cfd44cfdbde3bdfdc4)
![{\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq \|x\|^{2}\|y\|^{2}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03ac4c5ebe020a535f00ada44f073584f0a59241)
- 等号成立
与
线性相关
设
为
Hermite阵,且
,则
- 存在
,设![{\displaystyle u=A^{1/2}x,v=A^{1/2}y}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2867bfc0738c5a192c80bd0e6c899da72e0109f9)
![{\displaystyle |u^{*}v|^{2}\leq u^{*}u\cdot v^{*}v}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/387d3fbe9c991f3aa48fe3a7977cdd2130bd760f)
![{\displaystyle |x^{*}A^{1/2}A^{1/2}y|^{2}\leq x^{*}A^{1/2}A^{1/2}x\cdot y^{*}A^{1/2}A^{1/2}y}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53a3932372cfe38cf29a3ce53974befce85539d2)
![{\displaystyle |x^{*}Ay|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}Ay}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a94ba0589feca6a82902812711c6df6322f5877)
- 等号成立
与
线性相关
设
为
Hermite阵,且
,则
- 存在
,设![{\displaystyle u=A^{1/2}x,v=A^{-1/2}y}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a04f9094e9e7b1981b26f900dcd4cebc4683da26)
![{\displaystyle |u^{*}v|^{2}\leq u^{*}u\cdot v^{*}v}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/387d3fbe9c991f3aa48fe3a7977cdd2130bd760f)
![{\displaystyle |x^{*}A^{1/2}A^{-1/2}y|^{2}\leq x^{*}A^{1/2}A^{1/2}x\cdot y^{*}A^{-1/2}A^{-1/2}y}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e6a05e3eb8af995c0a411c5248a268eaf362cbd)
![{\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}A^{-1}y}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35bc04100c0df6b3824b353747a00086b4dbacae)
- 等号成立
与
线性相关[1]
若
,则
[2]
设
在区域
及其边界上解析,
为
内一点,以
为圆心做圆周
,只要
及其内部
均被
包含,则有:
其中,M是
的最大值,
。
[3]
[4]
- ^
表示x的共轭转置。
- ^ 王松桂. 矩阵不等式-(第二版).
- ^ 程伟丽 齐静. Cauchy不等式矩阵形式的推广. 郑州轻工业学院学报(自然科学版). 2008, (4) [2015-03-24]. (原始内容存档于2019-06-08).
- ^ 赵明方. Cauchy不等式的推广. 四川师范大学学报(自然科学版). 1981, (2) [2015-03-24]. (原始内容存档于2019-06-03).
- ^ 洪勇. 推广的Cauchy不等式的再推广. 曲靖师范学院学报. 1993, (S1) [2015-03-24]. (原始内容存档于2019-06-03).