格罗莫夫–威滕不变量
辛拓扑和代数几何中,格罗莫夫–威滕(GW)不变量是有理数,某些情形下可计算在给定辛流形中符合给定条件的伪全纯曲线。GW不变量可打包为适当空间中的同调或上同调类,或量子上同调的上积。这些不变量可用于区分辛流形(以前无法区分),在闭IIA型弦论中起着至关重要的作用。它们得名于米哈伊尔·格罗莫夫和爱德华·威滕。
格罗莫夫-威滕不变量的严格数学定义冗长而困难,在稳定映射条目中单独讨论。本文的重点在直观解释不变量的含义、计算方法及其重要性。
定义
[编辑]考虑:
现在定义与4元组相关的格罗莫夫–威滕不变量。令为亏格为g、有n个标记点的曲线的德利涅-芒福德模空间,令表示对X上某与其辛形式相容的殆复结构J,到X的A类稳定映射的模空间。的元素具有如下形式:
其中C是(不必稳定)曲线,有n个标记点与伪全纯的。模空间的实维度为
令
表示曲线的稳定化。置
具有实维度。有求值映射
求值映射将的基本类送到Y中的d维有理同调类,记作
从某种意义上说,这个同调类就是对于X,数据为g、n、A的格罗莫夫–威滕不变量,是辛流形X的辛同痕类的不变量。
要从几何角度解释格罗莫夫–威滕不变量,令β为中的同调类,为X中的同调类,使的余维之和为d。根据克奈公式,这些都会在Y中产生同调类。置
其中表示Y的有理同调中的交积。这是一个有理数,即给定类的格罗莫夫–威滕不变量。这个数字给出了伪全纯曲线(A类中,亏格为g,域位于德利涅-芒福德空间的β部分,有n个标记点映射到表示的循环)的“虚拟”计数。
简单说,GW不变量就是计算有多少条曲线同X的n个选定子流形相交。然而,由于计数的“虚拟”性,它不一定是自然数。因为稳定映射的空间是轨形,其各向同性点可为不变量贡献非整数值。
这种构造有多种变体,如用上同调取代同调,用积分取代交,从德利涅-芒福德空间拉回的陈类也被积分,等等。
计算技巧
[编辑]格罗莫夫–威滕不变量通常很难计算。虽然它们是为任何一般殆复结构J定义的,其中算子的线性化D是满射,但实际上必须针对特定的选定J计算。事实上,计算通常是在凯勒流形上利用代数几何技术进行的。
然而,特殊的J可能诱导非满射的D,从而使得伪全纯曲线的模空间大于预期。粗略地说,我们可以通过从D的余核形成向量丛(称作阻碍丛,obstruction bundle),然后将GW不变量变为阻碍丛的欧拉类的积分,以纠正这种影响。要精确化这一思想,需要利用仓西结构进行大量技术论证。
主要的计算技术是局部化,适用于X是环面的状况,即它是由复环面作用的,或至少是局部环面的。然后,我们可以利用阿蒂亚-博特定点定理将GW不变量的计算简化(局部化)为对作用定点轨迹的积分。
另一种手法是利用辛技术,将X同其他空间联系起来,其GW不变量更容易计算。当然,必须首先了解不变量在辛技术中的表现。这时,我们常用更复杂的相对GW不变量,即沿着X的实维度为2的辛子流形,计算满足切线条件的曲线。
相关不变量与其他构造
[编辑]GW不变量与几何中许多其他概念密切相关,如辛范畴中的唐纳森不变量与塞伯格-威滕不变量、代数范畴中的唐纳森-托马斯理论等。对紧辛4-流形,克利福德·陶布斯证明,GW不变量的一个变体等价于塞伯格-威滕不变量。人们猜想代数3-流形包含与整数值唐纳森-托马斯不变量相同的信息。物理方面的考虑也产生了戈帕库马尔-瓦法不变量,目的是为典型的有理GW理论提供底层整数计数。戈帕库马尔-瓦法不变量目前还没有严格的数学定义,这也是该课题的主要问题之一。
光滑射影簇的GW不变量可完全定义在代数几何中。平面曲线与齐次空间有理曲线的经典枚举几何都可用GW不变量来捕捉。不过,GW不变量与经典枚举计数的主要优势在于,其在目标的复结构变形时是不变的。GW不变量还提供了辛流形或射影流形上同调环中积结构的变形,可被组织起来构造流形X的量子上同调环,则是普通上同调的变形。变形积的结合性,本质上来自用于定义不变量的稳定映射的模空间的自相似。
众所周知,量子上同调环同构于辛弗洛尔同调及其裤对积(pair-of-pants product)。
在物理学中的应用
[编辑]GW不变量在弦论中很热门。弦论试图统一广义相对论与量子力学。其中万事万物都是由微小的弦构成的。弦在时空中穿行时,会描绘出一个面,称作弦的世界面。不幸的是,这种参数化面的模空间是无穷维的(至少先验地是);其上没有已知的适当测度,于是这种理论的路径积分表述缺乏严格定义。
在称作闭A模型的变体中,情况有所改善。这里有6个时空维度,构成了辛流形,而可证明世界面必由伪全纯曲线参数化,其模空间是有限维的。作为模空间上的积分,GW不变量就是这种理论的路径积分。特别是,A模型在亏格为g时的自由能是亏格为g的GW不变量的母函数。
另见
[编辑]参考文献
[编辑]- McDuff, Dusa & Salamon, Dietmar. J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology. American Mathematical Society colloquium publications. 2004. ISBN 0-8218-3485-1. An analytically flavoured overview of Gromov–Witten invariants and quantum cohomology for symplectic manifolds, very technically complete
- Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar & Schwarz, Matthias. Symplectic Floer–Donaldson theory and quantum cohomology. Thomas, C. B. (编). Contact and Symplectic Geometry
. Cambridge University Press. 1996: 171–200. ISBN 0-521-57086-7.
阅读更多
[编辑]- Moduli Spaces of Genus-One Stable Maps, Virtual Classes and an Exercise of Intersection Theory - Andrea Tirelli
- Kock, Joachim; Vainsencher, Israel. An Invitation to Quantum Cohomology: Kontsevich's Formula for Rational Plane Curves. New York: Springer. 2007. ISBN 978-0-8176-4456-7. A nice introduction with history and exercises to the formal notion of moduli space, treats extensively the case of projective spaces using the basics in the language of schemes.
- Vakil, Ravi. The Moduli Space of Curves and Gromov–Witten Theory. Enumerative Invariants in Algebraic Geometry and String Theory 1947. Springer. 2006: 143–198. Bibcode:2006math......2347V. arXiv:math/0602347
. doi:10.1007/978-3-540-79814-9_4.
- Notes on stable maps and quantum cohomology
研究论文
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