在範疇論中,正规態射是一類可以自然地分解成單射與滿射的態射。使所有態射皆為正规態射的範疇稱為正规範疇。
設
為一個有有限射影極限與歸納極限的範疇。設
為態射。設
為積的投影,而
為上積的內射。定義:
- 上像:
![{\displaystyle \mathrm {Coim} (f):=\mathrm {Coker} (p_{1},p_{2})}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f5c37d0085dff7e12821621caafa5ba4115d39)
- 像:
![{\displaystyle \mathrm {Im} (f):=\mathrm {Ker} (i_{1},i_{2})}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b330c38d6c4ab8e1a125178da9d67336dff0a688)
根據極限性質,自然態射
是滿射,而
則是單射。此外還存在唯一一個態射
,使得合成態射
![{\displaystyle X\longrightarrow \mathrm {Coim} (f){\stackrel {u}{\longrightarrow }}\mathrm {Im} (f)\longrightarrow Y}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779777747420e3d84fa3cb625ffee93d8cff8f68)
正好是
。
若
為同構,則稱
為正规態射;正规態射可以寫成滿射與單射的合成。所有態射皆為正规態射的範疇稱為正规範疇。
- 以下三個條件等價:
為嚴格滿射
為同構
- 序列
正合
- 如果
同時是嚴格滿射與嚴格單射,則
為同構。
恆為嚴格滿射。
正规態射的重要特性在於它分解為滿射與單射,此分解在阿貝爾範疇中扮演關鍵角色。
對於集合範疇、群範疇以及一個環上的模範疇,嚴格性並不成問題。一旦引入額外結構,狀況將大大地複雜化:例如取
為拓撲向量空間範疇,
中存在所有有限的積與上積。
中的態射
即連續線性映射,其像
是空間
配與
的子空間拓撲,上像
則是
配與
的商拓撲;後者一般較前者為細。
- Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490