在数学中, 一个流用数学方式形式化了“取决于时间的变化”的一般想法,这经常出现在工程学, 物理学和常微分方程的研究中。非正式地说,如果
是某一系统的坐标连续表现为一个 t 的函数,那么
是一个流。更形式地说,流是单参数群在一个集合上的群作用。
向量流的概念,即由一个向量场确定的流,出现于微分拓扑、黎曼流形和李群诸多领域。向量流的特例包括测地流、哈密顿流、里奇流、平均曲率流以及 Anosov 流。
集合
上的一个流是
在
上的群作用。更准确地,流是一个函数
,满足
且和单参数群保持一致:
![{\displaystyle \varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,s+t)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd206878579f3808ae0ce9351913dda97de84cc)
对所有
属于
和
。
集合
称为
在
作用下的轨道。
当空间
有额外的结构(比如
是一个拓扑空间或
)时,流经常要求连续甚至可微。
在许多领域,包括在工程学、物理和常微分方程研究中一般用一个记号明确的表明流。从而
![{\displaystyle x(t)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54c275db3a1e620737b58e143b0818107fa5f5c)
写成
,这样我们可以说“变量 x 取决于时间 t”。事实上,在记号上,有严格的等价关系:
。类似地
![{\displaystyle x_{0}=x(0)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/001f6b6e1b729c7287c9786491d7195c0028fab4)
写成
,等等。
流最常见的例子是描述自治常微分方程的解,当方程的解存在且惟一时
![{\displaystyle y'=f(y),\;\;\;y(0)=x}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/098a4d73df774253a84cc43d797bd3eb93ba16a3)
可作为初始条件
的函数。这就是,如果以上方程有惟一的解
对任何
,那么
定义了一个流。
- D.V. Anosov, Continuous flow, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- D.V. Anosov, Measureable flow, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- D.V. Anosov, Special flow, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
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