特殊直角三角形
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9e/Euler_diagram_of_triangle_types.svg/langzh-320px-Euler_diagram_of_triangle_types.svg.png)
特殊直角三角形是一些有特殊性質的直角三角形,其特殊性質可能是使三角形的計算更加方便,或是存在一些較簡單的公式。例如有些三角形的內角有一些簡單的關係,例如45–45–90度三角形,這是各角有特殊關係的直角三角形。也有些直角三角形的各邊有特殊關係,例如各邊的比例可以用自然數表示,例如3 : 4 : 5,或是可以用黃金比例表示等。若在處理這些三角形時知道其特殊的邊關係或角關係,可以快速的計算一些幾何問題而不需用到一些較複雜的公式。
各角有特殊關係
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直角三角形的各角有其基本關係:最大角(直角)為90度,也等於另外二角的和。但有些直角三角形的各角還有其他特殊關係。
直角三角形的邊長一般會用單位圓或其他幾何方式推導而成,若角度為30°, 45°或60°,其三角函數的數值計算會比其他的角度會簡單很多。
以下是一些特殊角的三角函數
角度 | 弧度 | sin | cos | tan |
---|---|---|---|---|
0 | 0 | |||
30 | ||||
45 | ||||
60 | ||||
90 |
45–45–90度三角形、30–60–90度三角形以及正三角形是平面上的三種莫比斯三角形,任一內角都可以找到對應整數,使內角和整數的乘積為180,參照三角形群。
45–45–90度三角形
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在平面幾何中,將正方形繪製一條對角線會產生一個角度比例為1 : 1 : 2的三角形,而內角和為180度(或是π弧度),因此各角角度為45° (π/4)、45° (π/4)和90° (π/2)。依畢氏定理可得其邊長比例為1 : 1 : √2,因此45–45–90度三角形為等腰直角三角形。若繪製45–45–90度三角形斜邊的中線,中線會將45–45–90度三角形分割為另外二個較小的45–45–90度三角形,邊長是原來的1/√2。
45–45–90度三角形為等腰直角三角形,在平面幾何中,這也是唯一是等腰三角形的直角三角形。不過在球面幾何學或雙曲幾何中,有無限種也是等腰三角形的直角三角形。
30–60–90 度三角形
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若三角形各角的比例是1 : 2 : 3,其各角角度會是30°、60°和90°。各邊的比例會是1 : √3 : 2。
- 繪製邊長為2的正三角形ABC,並令D點為線段BC的中點。連接線段AD,則三角形ABD為 30–60–90度三角形,其斜邊長度為2,一股BD長度為1。
- 另一股AD的長度為√3,可以由畢氏定理求得。
30–60–90度三角形是平面幾何中唯一一個角度呈等差數列的直角三角形。其證明很簡單:假設三個角的角度為等差數列,可以表示為為α, α+δ, α+2δ,因為內角和為180°,可得3α+3δ = 180°,其中有一角會是60度,而且最大角需為90度,因此最小角會是30度。
角度呈等比數列的直角三角形
[编辑]在平面幾何中,30–60–90度三角形是唯一一個角度呈等差數列的直角三角形,角度呈等比數列的直角三角形也只有一種,其角度為π/(2φ2)[1]、π/(2φ)、π/2,其中公比為黃金比例φ。三個內角的比例為。
根據正弦定律,各邊的比例會是。因為各邊長的關係也要滿足畢氏定理,因此可得[註 1]。
另外,存在以下的恆等式[來源請求]:
有趣的是,若將餘弦函數以指數來表示,可以得到一個「黃金比例恆等式」,其中有出現黃金比例φ,和出現在歐拉恆等式中的五個數學基本常數π, e, i, 1, 0(不過歐拉恆等式比較簡潔):
各邊有特殊關係
[编辑]若三角形各邊為整數,三角形的三邊稱為勾股數,其各角的角度不會是整數[2]。這類的直角三角形容易記憶,而且三角形的各邊比例只要一様,即為相似三角形,就會有一様的特質。利用歐幾里得產生勾股數的公式,勾股數的比例比必定滿足以下的關係
其中m和n均為正整數,而且m>n。
常見的勾股数
[编辑]以下是前五個勾股数:
3: 4 :5 5: 12 :13 8: 15 :17 7: 24 :25 9: 40 :41
其中3 : 4 : 5三角形是唯一邊長呈等差數列的直角三角形,在埃及稱為「埃及三角形」[3]。由勾股数的有理數組成的三角形都是海倫三角形,表示其邊長和面積都是有理數。
以下是所有二股都小於256的互質勾股数組:
3: 4 :5 5: 12 :13 8: 15 :17 7: 24 :25 9: 40 :41 11: 60 :61 12: 35 :37 13: 84 :85 15: 112 :113 16: 63 :65 17: 144 :145 19: 180 :181 20: 21 :29 20: 99 :101 21: 220 :221
24: | 143 | :145 | |
---|---|---|---|
28: | 45 | :53 | |
28: | 195 | :197 | |
32: | 255 | :257 | |
33: | 56 | :65 | |
36: | 77 | :85 | |
39: | 80 | :89 | |
44: | 117 | :125 | |
48: | 55 | :73 | |
51: | 140 | :149 |
52: | 165 | :173 | |
---|---|---|---|
57: | 176 | :185 | |
60: | 91 | :109 | |
60: | 221 | :229 | |
65: | 72 | :97 | |
84: | 187 | :205 | |
85: | 132 | :157 | |
88: | 105 | :137 | |
95: | 168 | :193 | |
96: | 247 | :265 |
104: | 153 | :185 |
---|---|---|
105: | 208 | :233 |
115: | 252 | :277 |
119: | 120 | :169 |
120: | 209 | :241 |
133: | 156 | :205 |
140: | 171 | :221 |
160: | 231 | :281 |
161: | 240 | :289 |
204: | 253 | :325 |
207: | 224 | :305 |
斐波那契三角形
[编辑]從5開始,斐波那契數列中的第6項、第8項、第10項...等偶數項(假設0為第1項){0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...} 為邊長為整數的直角三角形的斜邊,也就是勾股數中最大的一項。二股中較長的一股為上一個斐波那契三角形的三邊和,較短一股為跳過的斐波那契數減去上一個斐波那契三角形的最短邊。
第一個斐波那契三角形邊長為5, 4和3。跳過數字8,下一個斐波那契三角形邊長為13, 12(5 + 4 + 3)和5(8 − 3)。跳過數字21,下一個三角形邊長為34, 30(13 + 12 + 5)和16(21 − 5)。此數列會一直延伸,最後會趨近以下的比值:
Andrew Clarke建議將長度比例為:的三角形稱為dom,因為此三角形可以由二格骨牌(domin)延對角線切割而成,此三角形是約翰·何頓·康威及查爾斯·雷丁提出的非週期性風車貼磚的基礎。
幾乎等腰的直角三角形
[编辑]等腰直角三角形的三邊不可能都是整數,但存在無限個「幾乎等腰」的直角三角形,也就是直角三角形的邊長為整數,而且二股長度只差一[4]。這類幾乎等腰的直角三角形可以用佩尔方程遞迴求解而得:
- a0 = 1, b0 = 2
- an = 2bn–1 + an–1
- bn = 2an + bn–1
an為斜邊的長度,n = 1, 2, 3, ....。最小的幾個三角形如下
3 : 4 : 5 20 : 21 : 29 119 : 120 : 169 696 : 697 : 985 4059 : 4060 : 5741 23660 : 23661 : 33461
各邊呈等比數列的三角形
[编辑]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2c/Kepler_triangle.svg/220px-Kepler_triangle.svg.png)
开普勒三角形是特殊的直角三角形,它的三边之比等于,為等比數列,其中是黄金比,.德国数学家及天文学家开普勒最早提出三边满足此比例的三角形。
相關條目
[编辑]註釋
[编辑]參考資料
[编辑]- ^ OEIS:A180014
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Rational Triangle. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2013-08-31]. (原始内容存档于2021-03-14) (英语).
- ^ A. Aleksei Petrovich Stakhov. Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer. World Scientific. 2009: p.86. ISBN 9812775838.
- ^ C.C. Chen and T.A. Peng. Almost-isosceles right-angled triangles (PDF). University of Queensland. [2013-09-02]. (原始内容存档 (PDF)于2012-02-17).