七个瓣的玫瑰线
八个瓣的玫瑰线(k=4)
各种各样的玫瑰线
玫瑰线是极坐标系中的正弦曲线,可以用以下的方程来表示:
![{\displaystyle \!\,r=\cos(k\theta ).}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b9384dd4c4d7662c31ead1f520252073a8f30bd)
如果k是偶数,玫瑰线就有2k个瓣,如果k是奇数,则有k个瓣。
如果k是有理数,玫瑰线就是封闭的,其长度有限。如果k是无理数,则曲线不是封闭的,长度为无穷大。在这种情况下,玫瑰线的图形便形成了一个稠密集。
由于对于所有的
,都有:
![{\displaystyle \sin(k\theta )=\cos \left(k\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(k\left(\theta -{\frac {\pi }{2k}}\right)\right)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a902c9ad128be57f7338c2e68ca82043443c75)
因此由以下方程所确定的玫瑰线
和![{\displaystyle \,r=\cos(k\theta )}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e09cdd36c3f7a86b7c7610f15c3c032505dd21f)
除了角度的不同以外,是全等的。
由以下方程所确定的玫瑰线
![{\displaystyle r=a\cos(k\theta )\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d7f7f18e4de587d12b12ccf03aa323114eaff5a)
其中k是正整数,具有面积:
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f45a41c3f8cef6806da7612603ec72a8e726ec9)
如果k是偶数;
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/211ca795217c90faeb5a2632f4c111c79557a2d1)
如果k是奇数。
相同的公式也适用于以下形式的玫瑰线:
![{\displaystyle r=a\sin(k\theta )\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c55c852a53e6e9fe2a9be4f86bb68e3bcf60b9ef)