在数学中,确定双线性形式是双线性形式B使得
- B(x, x)
在x不是0的时候有固定的符号(或正或负)。
要给出形式定义,设K是域R(实数)或C(复数)之一。假设V是在K上的向量空间,并且
- B : V × V → K
是Hermitian形式的双线性形式,在B(x, y)总是B(y, x)的复共轭的意义上。如果
- B(x, x) > 0 ,则B被称为正定
对于所有V中的非零x。如果B(x, x) ≥ 0对于所有x,B被称为正半定。负定和负半定双线性形式也类似的定义。如果B(x, x)取正和负值二者,它叫做不定的。
作为一个例子,设V=R2,并考虑双线性形式
![{\displaystyle B(x,y)=c_{1}x_{1}y_{1}+c_{2}x_{2}y_{2}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a09456769404850d5e3dceaef8b3e0be98563836)
这里的
,
,而
和
是常数。如果
且
,双线性形式
是正定的。如果这些常数中的一个是正数而其他的是零,则
是正半定的。如果
且
,则
是不定的。
给定一个Hermitian双线性形式
,函数
![{\displaystyle Q(x)=B(x,x)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8fb8e902fa9a7b052aa58d3a10a3764b4908665)
是二次形式。
的确定性定义同
的相应定义一样。
在内积空间上的自伴随算子A是正定的,如果
- (x, Ax) > 0对于所有非零向量x。