範疇 (數學)

在范畴论中，范畴这一概念代表一些数学对象及这些对象间的一些关系，以及这些关系之间的关系。利用范畴可以公式化抽象结构并保留结构上的关系，如运算。范畴几乎可以出现于现代数学的任意分支，同时也统合了这些分支的底层理念。对范畴本身的研究就称作范畴论。

定義

范畴

一个范畴 ${\mathcal {C}}$ 意指资料 $(\mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}},\mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}};\circ )$，其中：

• 一個由对象（Object）所構成的類 $\mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}}$；
• 物件間的态射（Morphism）所構成的類 $\mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}}$。每一個態射 $f\in {\mathrm {Mor\ } }{\mathcal {C}}$ 均蕴含确定的「始对象（Domain）」$A$ 和「终对象（Codomain）」$B$，且 $A,B\in \mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}}$。此时记 $f\colon A\to B$，称 $f$ 为从 $A$ 到 $B$ 的一个态射。所有由 $A$ 至 $B$ 的态射构成类，记作 $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}\ (A,B)$，不致混淆时，也记作 $\mathrm {Hom} \ (A,B)$；
• 对任意态射对 $(A,B)$ 有态射复合 $\circ$ 如下：

${\begin{aligned}\circ (-,-)\colon \ &\mathrm {Hom} \ (A,B)\times \mathrm {Hom} \ (B,C)&\to &\quad \mathrm {Hom} \ (A,C),\\&(f,g)&\mapsto &\quad f\circ g,\end{aligned}}$

其中，$f\circ g$ 在不致混淆时也记作 $fg$。

此態射複合滿足下列公理：

• （結合律）对态射 $f\colon A\to B$，$g\colon B\to C$ 和 $h\colon C\to D$，有 $f(gh)=(fg)h$；
• （幺元）对任意对象 $X$，存在一态射 $1_{X}\in \mathrm {Hom} \ (X,X)$，使得对任意态射 $f\in \mathrm {Hom} \ (A,B)$，均满足 $1_{B}f=f=f1_{A}$。态射 $1_{X}$ 称作「$X$ 的单位态射」。

根据上述公理可以证明，对每个特定对象而言，单位态射具唯一性。在这样的等价关系上，部分作者视对象与其单位态射为同一概念。

图 1：$\mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}}$ 和 $\mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}}$ 间的映射

显然，$\mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}}$ 和 $\mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}}$ 间自然地存在三个映射：$\mathrm {Id} \colon \ X\mapsto 1_{X}$，$\mathrm {Dom} \colon \ f\mapsto A$，$\mathrm {Cod} \colon \ f\mapsto B$，如图 1 所示。

小范畴和局部小范畴

一个范畴 ${\mathcal {C}}$ 称作小范畴（Small Category），当且仅当其态射类 $\mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}}$ 比真类小，即仅有集合那么大。

一个范畴 ${\mathcal {C}}$ 称作局部小范畴（Locally Small Category），当且仅当对任意对象对 $(A,B)\in (\mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}})^{2}$，其对应的的态射类 $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}\ (A,B)$ 均为非真类的集合。

数学研究中，许多重要的范畴（例如集合的范畴），通常即使非小，也是局部小的。

范畴举例

每一範疇都可由其物件、態射和態射複合來表示。

• 所有集合的范畴 ${\mathsf {Set}}$，其態射為集合間的函數，而態射複合則為一般的函數複合。
  • 所有預序關係的范畴 ${\mathsf {Ord}}$，其態射為單調函數。
  • 所有原群的范畴 ${\mathsf {Mag}}$，其態射為原群間的同態。
  • 所有群的范畴 ${\mathsf {Group}}$，其態射為群同態。
  • 所有阿貝爾群的範疇 ${\mathsf {Ab}}$，其態射為群同態。
  • 所有環的范畴 ${\mathsf {Ring}}$，其態射為環同態。
  • 所有於體 $\mathbb {k}$（維持固定）上的向量空間的范畴 ${\mathsf {Vect}}_{\mathbb {k} }$，其態射為線性映射。
  • 所有拓樸空間的范畴 ${\mathsf {Top}}$，其態射為連續函數。
  • 所有度量空間的范畴 ${\mathsf {Met}}$，其態射為度量映射。
  • 所有一致空間的范畴 ${\mathsf {Uni}}$，其態射為一致連續函數。
  • 所有光滑流形的范畴 ${\mathsf {Man}}^{p}$，其態射為 $p$ 次連續可微映射。
• 所有小範疇的范畴 ${\mathsf {Cat}}$，其態射為函子。
• 所有局部小范畴的范畴 ${\mathsf {CAT}}$。
• 所有集合的关系范畴 ${\mathsf {Rel}}$，其態射為關係。
• 任一預序集 $(P,\preceq )$ 均蕴含一個小範疇，其对象為 $P$ 的元，态射为有序对 $(p,q)$ 使得 $p\preceq q$。
• 任一幺半群 $M$ 均蕴含一个携唯一一个对象 $x$ 的小范畴 ${\mathsf {B}}M$。${\mathsf {B}}M$ 以 $M$ 中的元作为态射，每个态射各自表示 $x$ 上一个不同的自同态，而态射复合由 $M$ 的乘法给出。$M$ 的幺元 $e\in M$ 也作为 ${\mathsf {B}}M$ 这唯一一个对象的单位态射存在。可以将范畴这一概念视作幺半群之延伸概念。
• 任意有向图蕴含一个自然的小范畴，以图的顶点为对象，有向路径为态射，路径串联为态射复合。这被称作由有向图产生的「自由范畴」。
• 若I是一個集合，「在I上的具體範疇」會是個小範疇，其物件為I的元素，而態射則只有單位態射。當然，其態射複合的公理是必然滿足的。

态射类型

一个态射 $f\colon \ a\to b$ 被称为：

• 同构（Isomorphism），当且仅当存在态射 $g\colon \ b\to c$，满足 $gf=1_{a},\,fg=1_{b}$，换言之，存在逆；
• 自态射（Endomorphism），当且仅当 $b=a$，即 $f$ 是从 $a$ 到 $a$ 自身的态射；
• 自同构（Automorphism），当且仅当 $f$ 同时为同构与自态射；
• 单态射（Monomorphism），当且仅当对任意态射 $h,k\in \mathrm {Hom} \ (x,\,a)$，$fh=fk$ 均蕴含 $h=k$；
• 满态射（Epimorphism），当且仅当对任意态射 $h,k\in \mathrm {Hom} \ (b,\,x)$，$hf=kf$ 均蕴含 $h=k$；
• $g\colon \ b\to a$ 的截面（Section），当且仅当 $gf=1_{a}$，也称作 $g$ 的右逆（Right Reverse）或分裂单态射（Split Monomorphism）；
• $g\colon \ b\to a$ 的收缩（Retraction），当且仅当 $fg=1_{b}$，也称作 $g$ 的左逆（Left Reverse）或分裂满态射（Split Epimorphism）；

也记 $a$ 上的所有自态射构成类 $\mathrm {End} \ a$，所有自同构构成类 $\mathrm {Aut} \ a$。

下述三个命题是等价的：

1. $f$ 是单态射且是收缩。
2. $f$ 是满态射且是截面。
3. $f$ 是同构。

态射之间的关系（例如 $fg=h$）可以非常方便地表示为交换图表，其中物件表示为点，态射表示为箭头。

特别的范畴

子范畴

给定一个范畴 ${\mathcal {C}}$，称范畴 ${\mathcal {D}}$ 为 ${\mathcal {C}}$ 之子范畴（Subcategory），当且仅当：

• $\mathrm {Ob} \ {\mathcal {D}}\subseteq \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}}$，
• $\mathrm {Mor} \ {\mathcal {D}}\subseteq \mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}$，
• 同时，态射复合仍然保持。

群胚

称 ${\mathcal {C}}$ 为一群胚（Groupoid），当且仅当其中所有态射为同构。

• 群可被定义作具唯一一个对象的群胚；

任意范畴 ${\mathcal {C}}$ 均内含一个最大群胚（Maximal Groupoid），为包含全部 ${\mathcal {C}}$ 的对象，而包含且仅包含全部自态射作为态射的子范畴。

对偶范畴

令 ${\mathcal {C}}$ 为一范畴，规定其对偶范畴 ${\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }$ 如下：

• 以 $\mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}}$ 为 $\mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }$；
• 由如下从 $\mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}$ 到 $\mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }$ 的一一对应函子完全生成后者：

${\begin{aligned}\mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}\qquad &\to &\mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\\f\colon \ X\to Y\quad &\mapsto &f^{\mathrm {op} }\colon \ Y\to X\end{aligned}}$

其中满足：$\forall f,g\in \mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}},(f\circ _{\mathcal {C}}g)^{\mathrm {op} }:=g^{\mathrm {op} }\circ _{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}f^{\mathrm {op} }$。

利用对偶范畴可证明如下的对偶定理：

定理：下列三条定理等价：

1. $f\colon \ x\to y$ 为范畴 ${\mathcal {C}}$ 中的一个同构（双态射）；
2. 对所有对象 $c\in \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}}$，$f$ 上的后复合定义了双射 $f_{*}\colon \ \mathrm {Hom} (c,x)\to \mathrm {Hom} (c,y)$；
3. 对所有对象 $c\in \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}}$，$f$ 上的前复合定义了双射 $f^{*}\colon \ \mathrm {Hom} (y,c)\to \mathrm {Hom} (x,c)$；

积范畴

对任意范畴 ${\mathcal {C}}$ 和 ${\mathcal {D}}$，定义其积范畴 ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}$ 如下：

• 以形如 $(c,\,d)$ 的有序对为对象，其中 $c\in \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}},\,d\in \mathrm {Ob} \ {\mathcal {D}}$，
• 以形如 $(f,\,g)\colon \ (c,\,d)\to (c',\,d')$ 的有序对为态射，同时
• 结合律与单位态射也如此被逐分量定义。

图 2：逗号范畴之态射

逗号范畴

给定函子 $F\colon \ {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}},\,G\colon \ {\mathcal {E}}\to {\mathcal {C}}$，定义其逗号范畴 $F\downarrow G$ 如下：

• 以有序三元组 $(d,\,e,\,f\colon \ Fd\to Ge)\in \mathrm {Ob} \ {\mathcal {D}}\times \mathrm {Ob} \ {\mathcal {E}}\times \mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}$ 为对象，

• 以有序对 $(h\colon \ d\to d',\,k\colon \ e\to e')\in \mathrm {Mor} \ {\mathcal {D}}\times \mathrm {Mor} \ {\mathcal {E}}$ 为态射，使得对于每个 $(h,\,k)\colon \ (d,\,e,\,f)\to (d',\,e',\,f')$，图 2 在 ${\mathcal {C}}$ 中交换， 即：使得 $f'\circ Fh=Gk\circ f$。

範疇類型

• 在许多范畴中，例如阿贝尔群范畴或向量空间范畴，态射集合 $\mathrm {Hom} (a,\,b)$ 不仅是集合，而且还是阿贝尔群，并且态射的复合与这些阿贝尔群之间的群结构兼容，即复合映射是双线性的。这种范畴称为预可加范畴。如果在此基础上这个范畴还带有所有有限积和上积，那么我们称之为可加范畴。如果更进一步地，所有态射都有核和上核，并且每个满态射都是上核而每个单态射都是核，那么我们称之为阿贝尔范畴。阿贝尔范畴的典型例子是阿贝尔群的范畴。
• 范畴是完备的当其拥有所有极限。集合、阿贝尔群、拓扑空间的范畴都是完备的。
• 范畴是笛卡尔闭的当其拥有所有有限直积、且有限积上的态射总是可由任一因子上的态射确定。笛卡尔闭范畴包括 Set 和 CPO，即完全偏序和斯科特连续函数组成的范畴。
• 拓扑斯是一种特定的笛卡尔闭范畴；所有数学内容都可以用拓扑斯的语言形式化（正如所有经典数学都可以用集合范畴的语言形式化一般）。拓扑斯也可用于表示逻辑理论。

參考文獻

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• Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra.. Vols. 50-52 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press.
• Lawvere, William, & Schanuel, Steve.（1997）. Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories. Cambridge: Cambridge University Press.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician（2nd ed.）. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Jean-Pierre Marquis, "Category Theory" （页面存档备份，存于互联网档案馆） in Stanford Encyclopedia of Philosophy （页面存档备份，存于互联网档案馆）, 2006

外部連結

• Homepage of the Categories mailing list, with extensive list of resources
• Category Theory section of Alexandre Stefanov's list of free online mathematics resources