索末菲恒等式 是由阿诺德索末菲提出的一个数学恒等式,该恒等式用于波传播理论中,
![{\displaystyle {\frac {e^{ikR}}{R}}=\int \limits _{0}^{\infty }I_{0}(\lambda r)e^{-\mu \left|z\right|}{\frac {\lambda d\lambda }{\mu }}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/204f39eb60b3e252555941823b119d1ab756b34c)
其中
![{\displaystyle \mu ={\sqrt {\lambda ^{2}-k^{2}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e1556ef02d447bddab7304a756d054cf5f820de)
取正实数部分,以确保积分收敛和
。
表示到原点的距离,同时
是
柱坐标系统中到圆柱中心轴的距离。 这里贝塞尔函数的符号遵循德国惯例,与索末菲使用的原始符号一致。
第一类零阶贝塞尔函数,在英文文献中通常标记为
。
[1]。
索末菲恒等式可以更容易地看作是球面波特别是圆柱对称波的扩展,
![{\displaystyle {\frac {e^{ik_{0}r}}{r}}=i\int \limits _{0}^{\infty }{dk_{\rho }{\frac {k_{\rho }}{k_{z}}}J_{0}(k_{\rho }\rho )e^{ik_{z}\left|z\right|}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f649d9bd47e574e074bd4efe4f6eaec77e2e15d)
其中
![{\displaystyle k_{z}=(k_{0}^{2}-k_{\rho }^{2})^{1/2}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f97480495c3e18e12f6c0e1914e182e9fb5f093)
[2]. 这里使用的符号不同于上面: 这里的
是圆柱坐标系中的径向距离。 其物理解释是球面波可以扩展成为
方向上柱面波的总和,乘以
方向上双面平面波,参见 Jacobi-Anger expansion。 必须对所有波数
求和。
索末菲恒等式与柱对称的二维 傅里叶变换密切相关,即汉克尔变换。 它是通过改变沿面坐标(
,
, 或
,
)的球面波,但不改变沿高度坐标
得到的。
- ^ Sommerfeld, A.,Partial Differential Equations in Physics,Academic Press,New York,1964
- ^ Chew, W.C.,Waves and Fields in Inhomogeneous Media,Van Nostrand Reinhold,New York,1990