自由黎曼气体模型 (英語:free Riemann gas model ),又名素数子气体模型 (英語:Primon gas model )或素数气体模型 (英語:Prime number gas model )[1] ,是统计物理学 和量子场论 中的一个玩具模型 。该模型刻画了素数 理论与一个假想的、无相互作用的量子场理论之间的对应关系;后者的激发态被称为“素数子 ”(英語:Primon )。1990年,唐纳德•斯佩克特和伯纳德•朱利亚两人彼此独立地 提出了这一模型;随后,巴卡斯,博威克和斯佩克特进一步研究了该理论与更为复杂的模型(例如弦论 )之间的关联。[2] [3] [4] [5]
考虑一个无相互作用的全同玻色子 构成的量子系统。假设每个粒子有可列多个分立能级:
ϵ
1
<
ϵ
2
<
ϵ
3
.
.
.
{\displaystyle \epsilon _{1}<\epsilon _{2}<\epsilon _{3}...}
,且:
a
1
,
a
2
,
a
3
.
.
.
{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}...}
是与之对应的湮灭算子 。则真空态
|
Ω
⟩
{\displaystyle |\Omega \rangle }
和所有粒子态:
|
k
1
,
k
2
,
k
3
.
.
.
⟩
≡
(
a
1
†
)
k
1
(
a
2
†
)
k
2
.
.
.
|
Ω
⟩
{\displaystyle |k_{1},k_{2},k_{3}...\rangle \equiv (a_{1}^{\dagger })^{k_{1}}(a_{2}^{\dagger })^{k_{2}}...|\Omega \rangle }
,
k
i
∈
N
{\displaystyle k_{i}\in \mathbb {N} }
张成了态空间的一组正交基 。令:
p
1
<
p
2
<
p
3
.
.
.
{\displaystyle p_{1}<p_{2}<p_{3}...}
为全体素数的构成的升序列。则如下的映射:
|
k
1
,
k
2
,
k
3
.
.
.
⟩
↦
N
≡
p
1
k
1
p
2
k
2
p
3
k
3
.
.
.
{\displaystyle |k_{1},k_{2},k_{3}...\rangle \mapsto N\equiv p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}p_{3}^{k_{3}}...}
是这组正交基到正整数的双射 ,后者由因数分解的唯一性 保证。因此,系统的任意粒子态都可以用正整数唯一标记。在数学文献中,这种标记方法被称为哥德尔编号 。[1] [2]
现在假设单粒子态的能量满足:
ϵ
i
=
ln
p
i
{\displaystyle \epsilon _{i}=\ln p_{i}}
满足上述性质的假想粒子称为素数子。此时,对于任意一个粒子态
|
N
⟩
{\displaystyle |N\rangle }
,其能量
E
N
{\displaystyle E_{N}}
都满足:
E
N
=
∑
i
=
1
∞
k
i
ϵ
i
=
∑
i
=
1
∞
k
i
ln
p
i
=
ln
N
{\displaystyle E_{N}=\sum _{i=1}^{\infty }k_{i}\epsilon _{i}=\sum _{i=1}^{\infty }k_{i}\ln p_{i}=\ln N}
该系统在参数为
β
{\displaystyle \beta }
的正则系综 下的配分函数为黎曼函数 :
Z
(
β
)
=
∑
N
=
1
∞
exp
(
−
β
E
N
)
=
∑
N
=
1
∞
1
N
β
=
ζ
(
β
)
{\displaystyle Z(\beta )=\sum _{N=1}^{\infty }\exp(-\beta E_{N})=\sum _{N=1}^{\infty }{\frac {1}{N^{\beta }}}=\zeta (\beta )}
另一方面,配分函数可以写成如下的连乘积:
Z
(
β
)
=
∏
i
=
1
∞
1
1
−
exp
(
−
β
ϵ
i
)
=
∏
i
=
1
∞
1
1
−
p
i
−
β
{\displaystyle Z(\beta )=\prod _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{1-\exp(-\beta \epsilon _{i})}}=\prod _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{i}^{-\beta }}}}
即得欧拉乘积公式 。[1] [2]
上述素数子气体模型可以自然地推广到超对称的情形。在超对称 模型中,每个玻色场的湮灭算子都存在一个与之对应的费米场的湮灭算子;令后者为:
f
1
,
f
2
,
f
3
.
.
.
{\displaystyle f_{1},f_{2},f_{3}...}
如此,该模型的粒子态具有如下形式:
|
k
1
,
k
2
,
k
3
.
.
.
l
1
,
l
2
,
l
3
.
.
.
⟩
≡
(
a
1
†
)
k
1
(
a
2
†
)
k
2
.
.
.
(
f
1
†
)
l
1
(
f
2
†
)
l
2
.
.
.
|
Ω
⟩
{\displaystyle |k_{1},k_{2},k_{3}...l_{1},l_{2},l_{3}...\rangle \equiv (a_{1}^{\dagger })^{k_{1}}(a_{2}^{\dagger })^{k_{2}}...(f_{1}^{\dagger })^{l_{1}}(f_{2}^{\dagger })^{l_{2}}...|\Omega \rangle }
,
k
i
∈
N
{\displaystyle k_{i}\in \mathbb {N} }
,
l
i
∈
{
0
,
1
}
{\displaystyle l_{i}\in \{0,1\}}
由于泡利不相容原理,每个费米场此时,每个粒子态可以利用如下定义的两个正整数标记:
N
≡
p
1
k
1
+
l
1
p
2
k
2
+
l
2
p
3
k
3
+
l
3
.
.
.
{\displaystyle N\equiv p_{1}^{k_{1}+l_{1}}p_{2}^{k_{2}+l_{2}}p_{3}^{k_{3}+l_{3}}...}
d
≡
p
1
l
1
p
2
l
2
p
3
l
3
.
.
.
{\displaystyle d\equiv p_{1}^{l_{1}}p_{2}^{l_{2}}p_{3}^{l_{3}}...}
类似地,任意一个正整数
N
{\displaystyle N}
和
N
{\displaystyle N}
的任何一个不含平方数因数 的因数
d
{\displaystyle d}
构成的数对
(
N
,
d
)
{\displaystyle (N,d)}
唯一决定了该模型中的一个粒子态。其中,粒子态的能量仅由
N
{\displaystyle N}
决定,而其自旋统计 性质仅取决于
d
{\displaystyle d}
。
注意到如此构建的粒子态恰好为算子
(
−
1
)
F
^
{\displaystyle (-1)^{\hat {F}}}
的本征态:
(
−
1
)
F
^
|
N
,
d
⟩
=
μ
(
d
)
|
N
,
d
⟩
{\displaystyle (-1)^{\hat {F}}|N,d\rangle =\mu (d)|N,d\rangle }
其中函数
μ
(
d
)
{\displaystyle \mu (d)}
满足:
μ
(
d
)
=
+
1
{\displaystyle \mu (d)=+1}
,若
d
{\displaystyle d}
的素因子数目为偶;
μ
(
d
)
=
−
1
{\displaystyle \mu (d)=-1}
,若
d
{\displaystyle d}
的素因子数目为奇。
因此
μ
(
d
)
{\displaystyle \mu (d)}
为默比乌斯函数 。[2]
算子
(
−
1
)
F
^
{\displaystyle (-1)^{\hat {F}}}
在参数为
β
{\displaystyle \beta }
的正则系综中的平均值为威腾指标:
Δ
≡
T
r
(
exp
(
−
β
H
^
)
(
−
1
)
F
^
)
{\displaystyle \Delta \equiv \mathbf {Tr} (\exp(-\beta {\hat {H}})(-1)^{\hat {F}})}
由于模型中费米场与玻色场没有相互作用,求迹运算可以对玻色自由度和费米自由度分别进行:
Δ
=
T
r
(
exp
(
−
β
H
^
f
)
(
−
1
)
F
^
)
T
r
(
exp
(
−
β
H
^
b
)
)
{\displaystyle \Delta =\mathbf {Tr} (\exp(-\beta {\hat {H}}_{f})(-1)^{\hat {F}})\mathbf {Tr} (\exp(-\beta {\hat {H}}_{b}))}
T
r
(
exp
(
−
β
H
^
b
)
)
=
Z
(
β
)
=
ζ
(
β
)
{\displaystyle \mathbf {Tr} (\exp(-\beta {\hat {H}}_{b}))=Z(\beta )=\zeta (\beta )}
T
r
(
exp
(
−
β
H
^
f
)
(
−
1
)
F
^
)
=
∑
d
exp
(
−
β
E
^
d
)
μ
(
d
)
=
∑
d
μ
(
d
)
d
β
{\displaystyle \mathbf {Tr} (\exp(-\beta {\hat {H}}_{f})(-1)^{\hat {F}})=\sum _{d}\exp(-\beta {\hat {E}}_{d})\mu (d)=\sum _{d}{\frac {\mu (d)}{d^{\beta }}}}
另一方面,
Δ
=
∑
N
=
1
∞
∑
d
|
N
exp
(
−
β
E
N
)
μ
(
d
)
{\displaystyle \Delta =\sum _{N=1}^{\infty }\sum _{d|N}\exp(-\beta E_{N})\mu (d)}
由于超对称性,算子
(
−
1
)
F
^
{\displaystyle (-1)^{\hat {F}}}
在除真空态以外的任意具有确定
N
{\displaystyle N}
的粒子态构成的子空间上的表示矩阵都是无迹的。因而:
∑
d
|
N
μ
(
d
)
=
δ
N
,
1
{\displaystyle \sum _{d|N}\mu (d)=\delta _{N,1}}
Δ
=
exp
(
−
β
E
1
)
=
1
{\displaystyle \Delta =\exp(-\beta E_{1})=1}
因此通过计算这个超对称素数子模型的威腾指标,可以得到如下关于默比乌斯函数的恒等式:
∑
d
μ
(
d
)
d
β
=
ζ
−
1
(
β
)
{\displaystyle \sum _{d}{\frac {\mu (d)}{d^{\beta }}}=\zeta ^{-1}(\beta )}
利用这一公式可推出素数定理 。[2]
量子场论与素数理论的这种关联可以进一步地抽象为拓扑量子场论 与K理论 的关联。为实现这一目的,可将素数推广为素理想 。
^ 1.0 1.1 1.2 André LeClair, Giuseppe Mussardo. Generalized Riemann hypothesis, time series and normal distributions . Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2019-02-15, 2019 (2): 023203 [2019-08-07 ] . ISSN 1742-5468 . doi:10.1088/1742-5468/aaf717 . [永久失效連結 ]
^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 D. Spector, Supersymmetry and the Möbius Inversion Function, Communications in Mathematical Physics, 1990, (127): 239–252
^ Bernard L. Julia, J. M. Luck, P. Moussa, M. Waldschmidt , 编, Statistical theory of numbers, Number Theory and Physics, Springer Proceedings in Physics (Springer-Verlag), 1990, 47 : 276–293
^ I. Bakas, M.J. Bowick, Curiosities of Arithmetic Gases, J. Math. Phys, 1991, (32): 1881
^ D. Spector, Duality, Partial Supersymmetry, and Arithmetic Number Theory, J. Math. Phys, 1998, (39): 1919–1927