在线性代数与矩阵论中,一个矩阵的子矩阵之舒尔补是一个与其余子阵同样大小的矩阵,定义如下:假设一个 (p+q)×(p+q)的矩阵M被分为A, B, C, D四个部分,分别是p×p、p×q、q×p以及q×q的矩阵,也就是说:
![{\displaystyle M=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06975df014f40e74936e5d74d528ec791a10d21e)
并且D是可逆的矩阵。则D在矩阵中的舒尔补是:
![{\displaystyle A-BD^{-1}C.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7eef3c10b8a9cea35cfb1ffc1134be60fa6f42d)
这是一个p×p的矩阵。
舒尔补得名于数学家伊赛·舒尔,后者用舒尔补来证明舒尔引理。然而,舒尔补的概念在之前就曾经被使用过[1]。
舒尔补实际上是对原来的矩阵M进行一系列的初等变换操作后得到的矩阵,其转换矩阵是下三角矩阵:
![{\displaystyle L=\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&D^{-1}\end{matrix}}\right].}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aec3baa130f2dd9d92909bbd80bb9638794b80bb)
其中Ip表示一个p×p的单位矩阵。矩阵M右乘转换矩阵L之后,左上角就会出现舒尔补,具体的形式是:
![{\displaystyle M\cdot L=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&D^{-1}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}A-BD^{-1}C&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{matrix}}\right].}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b640cc867f92d5c37d4bba26fd53c83d1c8642f)
因此,矩阵M的逆,如果存在的话,可以用
以及其舒尔补(如果存在的话)来表示:
![{\displaystyle =\left[{\begin{matrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\end{matrix}}\right].}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7b38d1b9faf07303d9d03160f4ea900c5331fd)
当p和q都等于1(即A、B、C和D都是系数)时,我们可以得到一般的2 × 2的矩阵的逆矩阵表达式:
![{\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{AD-BC}}\left[{\begin{matrix}D&-B\\-C&A\end{matrix}}\right]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5648f3d0958a38c96d297032e064e55d8ddf260a)
这也说明了
是非零的数。
舒尔补很自然地可以在如下的方程组求解中发挥作用:
![{\displaystyle Ax+By=a}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8861d77804e1ae76009bac7004dbb3533d7dbc9)
![{\displaystyle Cx+Dy=b}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfc81de999893bc7f68bf1c509bdedb24697c7d4)
其中x以及a是p维的列向量,而y以及b则是q维的列向量。矩阵A、B、C、D则同上面假设。将第二个方程左乘上矩阵
,并将得到后的方程与第一个相减,就得到:
![{\displaystyle (A-BD^{-1}C)x=a-BD^{-1}b.\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5979c60a939ffdd15d0b9b178b1b07d065043a0)
因此,如果可以知道D以及D的舒尔补的逆矩阵,就可以解出未知量x之后带入第二个方程
就可以解出y。这样,就将
矩阵的求逆问题转化成了分别求解一个p×p矩阵以及一个 q×q矩阵的逆矩阵的问题。这样就大大减低了复杂度(计算量)。实际上,这要求矩阵D满足足够好的条件,以使得算法得以成立。
假设有分别属于Rn以及Rm的随机列向量X, Y ,并且Rn+m中的向量对 (X, Y)具有多维正态分布,其方差矩阵是对称的正定矩阵
![{\displaystyle V=\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{T}&C\end{matrix}}\right].}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d1e0d9b2e09495f32e17eff341787170e6756a)
那么X在Y给定时的条件方差是矩阵C在V中的舒尔补:
![{\displaystyle \operatorname {var} (X\mid Y)=A-BC^{-1}B^{T}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c4d1aefe8aaf8370bc364ddf5e01cf6baef39ff)
- ^ Zhang, Fuzhen. The Schur Complement and Its Applications. Springer. 2005. ISBN 0387242716.