在数学中,迭代函数[1]是在碎形和动力系统中深入研究的对象。迭代函数是重复的与自身复合的函数,这个过程叫做迭代。
定义
在集合
上的迭代函数的形式定义为:
设
是集合和
是函数。定义
的
次迭代
为
而
,这里的
是在
上的恒等函数。
在上述中,
指示函数复合;就是说
。
換句話說,迭代函数也可以表示為以下的形式:
![{\displaystyle f^{n}(x)={\underbrace {f(f(f(...f(f} _{n}}(x))...)))}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a18862df5492d9c3ab122ff94f0c96d10c996a2)
定義為
。
定義為
的反函數。(如果
的反函數不存在,則
也不存在)
因此,
就是
,
是
,
是恆等函數
,
是
的反函數(如果存在的話),而
就是能夠使得合成函數
正好是
的函數
。
注意,一般情況下,
並不等於
或
,而例如
是
的反函數,亦即
,而不是
。
例
一些特殊函數的冪次為(其中
、
、
可為任意複數,亦即
):
,
(在
是負實數或虛數的時候並沒有定義,就好比
在
是負實數或虛數的時候也沒有定義)
,
,
,
(注意迭代冪次要由右往左算)
,
(
)
,
(
)
(注意任何非零複數的任何複數次方都有定義:
,當
為負實數或虛數時,
,其中
為複數
的絕對值,
為複數
的主幅角,
為複數
的實部,
為複數
的虛部)
函數冪亦有類似指數律的定理,其中
、
可為任意複數,亦即
:
注意函數的合成是不可交換的(
並不一定等於
)但因為可結合(
一定等於
),所以會符合冪結合性,因此這兩條「函數冪的指數律」並沒有任何問題。
這跟例如指數拓展到次方為負整數、分數、無理數、複數,以及階乘運算跟排列組合運算
、
拓展到非整數和負數時(使用伽瑪函數)一樣,二項式定理也可以用這種方式拓展到負整數、分數、無理數、複數,只是會變成無窮級數而不再是有限級數而已,包括矩陣的
次方以及微分
次(
為負整數時等同於積分
次),也都可以用這種方式,把
拓展到任意複數,或例如已知「首項」、「公差/公比」、「項數」的等差數列或等比數列要求出全部項的和或乘積的公式,也都可以用這種方式,拓展到項數為負整數、分數、無理數、複數的情況(包括一般的
與
中,
為常見的函數如多項式函數、指數函數、對數函數、三角函數的時候,
跟
也能拓展到任意複數,就跟積分式
一樣),至於超運算
能不能拓展到分數、無理數或複數,則是數學中未解決的問題之一。
从迭代建立序列
函数
的序列叫做 Picard 序列,得名于埃米尔·皮卡。对于一个给定
,
的值的序列叫做
的轨道。
如果对于某个整数
有
,则轨道叫做周期轨道。对于给定
最小的这种
值叫做轨道的周期。点
自身叫周期点。
不动点
如果m=1,就是说如果对于某个X中的x有f(x) = x,则x被称为迭代序列的不动点。不动点的集合经常指示为Fix(f)。存在一些不动点定理保证在各种情况下不动点的存在性,包括巴拿赫不动点定理和Brouwer不动点定理。
有很多技术通过不动点迭代产生了序列收敛加速。例如,应用于一个迭代不动点的Aitken方法叫做Steffensen方法,生成二次收敛。
不动点理论同样也适用于经济学领域。
极限行为
通过迭代,可以发现有向一个单一点收缩和会聚的一个集合。在这种情况下,会聚到的这个点叫做吸引不动点。反过来说,迭代也可以表现得从一个单一点发散;这种情况叫不稳定不动点。
当轨道的点会聚于一个或多个极限的时候,轨道的会聚点的集合叫做极限集合或 ω-极限集合。
吸引和排斥的想法类似推广;依据在迭代下小邻域行为,可把迭代分类为稳定集合和不稳定集合。
其他极限行为也有可能;比如,游荡点是总是移动永不回到甚至接近起点的点。
例子
著名的迭代函数包括曼德博集合和迭代函数系统。
如果 f 是一个群元素在一个集合上的作用,则迭代函数对应于自由群。
参见
引用
- ^ 疊代iteration. 國家教育研究院辭書資訊網. [2021-11-07]. (原始内容存档于2021-11-08).
名詞解釋:指重複的一序列指令或事件;如程式的迴圈。
- Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7