多項式餘式定理(英語:Polynomial remainder theorem)是指一個多項式
除以一線性多項式
的餘式是
。
我們可以一般化多項式餘式定理。如果
的商式是
、餘式是
,那麼
。其中
的次數會小於
的次數。例如,
的餘式是
。又可以說是把除式的零點代入被除式所得的值是餘式。
至於除式為2次以上時,可將n次除式的
根
列出聯立方程:
![{\displaystyle P(a)=R(a),P(b)=R(b),P(c)=R(c),\cdots }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e088cf21fdf1ceb2d3c8466d5e3a8604bda62a2)
其中
是被除式,
是餘式。
此方法只可用在除式不是任一多項式的
次方。
多項式餘式定理可由多項式除法的定義導出.根据多項式除法的定義,设被除式為
,除式为
,商式为
,余式为
,则有:
![{\displaystyle f(x)=g(x)\cdot q(x)+r(x)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68f8e10a7c9c9a4a420c89b02c4c3f8c600dc237)
如果
是一次式
,则
的次数小于一,因此,
只能为常数,这时,余式也叫余数,记为
,即有:
![{\displaystyle f(x)=(x-a)\cdot q(x)+r}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87bffd350d7b090e4ab01e498fe20dbbd4207c3d)
根据上式,当
时,有:
![{\displaystyle f(a)=(a-a)\cdot q(a)+r=r}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1cf7ff4e9fa7c6822a3adbff4a13d8ea3b13e5)
因此,我们得到了余式定理:多项式
除以
所得的余式等于
。