微分幾何 中,黎曼幾何 (英語:Riemannian geometry)研究具有黎曼度量 的光滑流形 ,即流形切空間上二次形式的選擇。它特別關注于角度、弧線長度及體積。把每个微小部分加起來而得出整體的數量。
19世紀,波恩哈德·黎曼 把這個概念加以推广。[1]
任意平滑流形容許黎曼度量 及這個額外結構幫助解決微分拓扑問題。它成為伪黎曼流形 複雜結構的入門。其中大部分都是廣義相對論 的四維研究对象。
黎曼几何古典理論 [ 编辑 ]
伯恩哈德·黎曼
一般理論 [ 编辑 ]
高斯-博内定理 :紧致二維黎曼流形 上高斯曲率 的积分等於
2
π
χ
(
M
)
{\displaystyle 2\pi \chi (M)}
,這裡的
χ
(
M
)
{\displaystyle \chi (M)}
記作M 的欧拉示性数 。
纳什嵌入定理 :(两个)被稱為黎曼幾何 的基礎理論。他們表明每個黎曼流形 可以是嵌入歐幾里得空間 R n 。
所有给出的定理中,都将用空间的局部行为(通常用曲率假设表述)来推出空间的整体结构的一些信息,包括流形的拓扑类型和"足够大"距离的点间的关系。
1/4-受限 球定理 :若M 是完备n -维黎曼流形,其截面曲率严格限制于1和4之间,则M 同胚于n -球。
Cheeger's有限定理 :给定常数C 和D ,只有有限个(微分同胚的流形算作一个)紧n -维黎曼流形,其截面曲率
|
K
|
≤
C
{\displaystyle |K|\leq C}
并且直径
≤
D
{\displaystyle \leq D}
。
Gromov的几乎平坦流形 :存在一个
ϵ
n
>
0
{\displaystyle \epsilon _{n}>0}
使得如果一个n -维黎曼流形其度量的截面曲率
|
K
|
≤
ϵ
n
{\displaystyle |K|\leq \epsilon _{n}}
且直径
≤
1
{\displaystyle \leq 1}
,则其有限覆盖微分同胚于一个零流形 .
正曲率 [ 编辑 ]
灵魂定理 :若M 是一个不紧的完备正曲率n -维黎曼流形,则它微分同胚于R n .
Gromov的贝蒂数定理 :有一个常数C=C(n) 使得若M 是一个由正截面曲率的紧连通n -维黎曼流形,则它的贝蒂数 之和不超过C .
Myers定理 :若一个紧黎曼流形有正Ricci曲率则它的基本群 有限。
分裂定理 :若一个完备的n -维黎曼流形有非负Ricci曲率和一条直线(在任何区间上的距离都极小的测地线)则它等度同胚于一条实直线和一个有非负Ricci曲率的完备(n -1)-维黎曼流形的直积。
Bishop's不等式 :半径为r 的球在一个有正Ricci曲率的完备n -维黎曼流形中的体积不超过欧几里得空间中同样半径的球的体积。
Gromov's紧致性定理 :所有正Ricci曲率且直径不超过D 的黎曼流形在Gromov-Hausdorff度量 下是仿紧 的。
n -维环不存在有正数量曲率的度量。
若一个紧n -维黎曼流形的单射半径
≥
π
{\displaystyle \geq \pi }
,则数量曲率的平均值不超过n (n -1)。
負曲率 [ 编辑 ]
任何有非正截面曲率的单连通黎曼流形的两点有唯一的测地线连接。
若M 是一个有负截面曲率的完备黎曼流形,则基本群 的任何可交换 子群同构于整数群Z 。
设V* 是一
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
-rank
≥
{\displaystyle \geq }
2的紧致不可约局部对称空间,设V是一截面曲率
K
≤
0
{\displaystyle K\leq 0}
的紧致
C
∞
{\displaystyle C^{\infty }}
黎曼流形,若
v
o
l
(
V
)
=
v
o
l
(
V
∗
)
{\displaystyle vol(V)=vol(V^{*})}
,且
π
1
(
V
)
=
π
1
(
V
∗
)
{\displaystyle \pi _{1}(V)=\pi _{1}(V^{*})}
,则
V
{\displaystyle V}
与
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
等距。
任何有负里奇曲率的紧黎曼流形有一个离散的等距同胚群 。
任何光滑流形可以加入有负里奇曲率的黎曼度量。
參考文献 [ 编辑 ]
Marcel Berger, Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century , (2000) University Lecture Series vol. 17, American Mathematical Society, Rhode Island, ISBN 0-8218-2052-4 . (Provides a historical review and survey, including hundreds of references.)
Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis , (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 (Provides a formal introduction, written at the grad-student level.)
Peter Peterson, Riemannian Geometry , (1998) Springer-Verlag, Berlin ISBN 0-387-98212-4 . (Provides an introduction, presented at an undergrad level.)
基礎概念 现象 方程 進階理論 精确解 近似解与数值模拟 科學家