在數學中,齐次函数(英語:Homogenous)是一個有倍數性質的函數:如果变數乘以一個係數,則新函數會是原函數再乘上係數的某次方倍。
假设
是域
内的两个向量空间之间的函数。
我们说
是“
次齐次函数”,如果对于所有非零的
和
,都有:
![{\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} )}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d078491b20fa63193cf5028991e5f7bc43a8fdd0)
即是,在歐幾里得空間,
,
其中
為指數函數。
- 线性函数
是一次齐次函数,因为根据线性的定义,对于所有的
和
,都有:![{\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd6016686092a9e78baecb0c45010bc8319d3981)
- 多线性函数
是n次齐次函数,因为根据多线性的定义,对于所有的
和
都有:![{\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n})=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/283a9ebe6e8be28f3186563249e32ca59fc67554)
- 从上一个例子中可以看出,两个巴拿赫空间
和
之间的函数
的
阶弗雷歇导数是
次齐次函数。
元单项式定义了齐次函数
。
例如:
![{\displaystyle f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd99ece770845762a699d2bd46532096b091bc8b)
是10次齐次函数,因为:
。
- 齐次多项式是由同次数的单项式相加所组成的多项式。例如:
![{\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51db9a7b25751430fe980a07982859492343788a)
是5次齐次多项式。齐次多项式可以用来定义齐次函数。
- 欧拉定理:假设函数
是可导的,且是
次齐次函数。那么:
。
这个结果证明如下。记
,并把以下等式两端对
求导:
![{\displaystyle f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e8c036d477cdba024d647203c8e05877d31de3)
利用复合函数求导法则,可得:
,
因此:
。
以上的方程可以用劈形算符写为:
,
当
,定理即得证。
- 假设
是可导的,且是
阶齐次函数。则它的一阶偏导数
是
阶齐次函数。
这个结果可以用类似欧拉定理的方法来证明。记
,并把以下等式两端对
求导:
![{\displaystyle f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e8c036d477cdba024d647203c8e05877d31de3)
利用复合函数求导法则,可得:
,
因此:
![{\displaystyle \alpha {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18fb61bd191706fcafaeb59c8656294bdd6d6e1e)
所以
.
对于以下的微分方程
![{\displaystyle I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd1d7d7851c256d1c06d92934badc1f8dd96924e)
其中
和
是同次数的齐次函数,利用变量代换
,可以把它化为可分离变量的微分方程:
。
- Blatter, Christian. 20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.. Analysis II (2nd ed.). Springer Verlag. 1979: p. 188. ISBN 3-540-09484-9 (德语).