ARCH模型(英語:Autoregressive conditional heteroskedasticity model,全称:自我迴歸條件異質變異數模型),解决了传统的计量经济学对时间序列变量的第二个假设(變異數恆定)所引起的问题。这个模型是获得2003年诺贝尔经济学奖的计量经济学成果之一。
传统的计量经济学对时间序列变量的第二个假设:假定时间序列变量的波动幅度(方差)是固定的,不符合实际,比如,人们早就发现股票收益的波动幅度是随时间而变化的,并非常数。这使得传统的时间序列分析对实际问题并不有效。
罗伯特·恩格尔在1982年发表在《计量经济学》杂志(Econometrica)的一篇论文中提出了ARCH模型解决了时间序列的波动性(volatility)问题,当时他研究的是英国通货膨胀率的波动性。
以
表示收益或者收益残差,假设
,此处
(即独立同分布,均符合期望为0,方差为1的正态分布)此处序列
建模为
![{\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\varepsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{p}\varepsilon _{t-p}^{2}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b71e24154375f7612e3d58dacd17f1475fbaced)
(其中
,即各期收益以非负数线性组合,常数项为正数。
如果變異數用ARMA模型來表示,则ARCH模型的变形为GARCH模型(波勒斯勒夫(Bollerslev),1986年)。
GARCH(p,q)模型为
![{\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\varepsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\varepsilon _{t-q}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}+\cdots +\beta _{p}\sigma _{t-p}^{2}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e2fa6725721ce8143564578980a325e6eb91d61)
IGARCH模型对GARCH的参数做了限制。IGARCH(p,q)模型可以表示为:
![{\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{p}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}+\sum _{i=1}^{q}\beta _{i}\sigma _{t-i}^{2}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af242f5fab6db8ff01a03584d8939464bb476b3)
- 条件是:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{p}\alpha _{i}+\sum _{i=1}^{q}\beta _{i}=1}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f7c474a6d3decfb9530bcf822523173a702a5f3)
GARCH-M模型把异方差项引入平均数方程式。一个简单的GARCH-M(1,1)模型可以表示为:
![{\displaystyle y_{t}=~\gamma x_{t}+~\phi ~\sigma _{t-1}+~\epsilon _{t}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7bd3749945c6594082f2050b38b83472b52db8a)
![{\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67f92d00df7f2ed56fd8cc97c271742ed8667599)
残差项
定义为:
![{\displaystyle ~\epsilon _{t}\sim \ N(0,\sigma _{t}^{2})}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cbe859e85c7909d64561358414369943a120e62)
ARCH模型能准确地模拟时间序列变量的波动性的变化,它在金融工程学的实证研究中应用广泛,使人们能更加准确地把握风险(波动性),尤其是应用在风险价值(Value at Risk)理论中,在华尔街是人尽皆知的工具。