卡茨-穆迪代数是一个李代数,通常无限维,其定义自(Victor Kac所谓的)广义根系。卡茨-穆迪代数的应用遍及数学和理论物理学。
假定以下材料:
——一个r阶广义嘉当矩阵(generalised Cartan matrix)
r.
———— 一个 2n − r维复向量空间
.
————
的对偶空间
————
中 n 枚相互独立的元,称为对偶根(co-root)
————
中n 枚线性相互独立的元 ,称为根(root)
- 上述各元满足
.
卡茨-穆迪代数
由符号
,
(i=1,..,n) 及空间
生成:
以上各元满足以下关系:
![{\displaystyle [e_{i},f_{i}]=\alpha _{i}.\ }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c7d64b544bebb24f799b216fa6de6fde9e6f17)
;其中 ![{\displaystyle i\neq j.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56fc967822fd38ec2406b47c864caf030fb02da2)
, 其中![{\displaystyle x\in {\mathfrak {h}}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f43358be82b601ff5fd498fa6460880d5050805c)
, 其中 ![{\displaystyle x\in {\mathfrak {h}}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f43358be82b601ff5fd498fa6460880d5050805c)
;其中 ![{\displaystyle x,x'\in {\mathfrak {h}}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9205b4235b2d212872d4f60c9496a261fdba34d9)
;其中
出现
次;
;其中
出现
次;
(其中
.)
一个 实(维数可以无限)李代数亦可称为 Kac–Moody代数,若其 复化 是个 Kac–Moody代数.
是此卡茨-穆迪代数的一嘉当子代数。
- 若 g 是 Kac–Moody 代数的一元,使得
![{\displaystyle \forall x\in {\mathfrak {h}}\,[g,x]=\omega (x)g}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d16647a6b1a878c8f8325a3f413ee9854f863fb)
其中 ω 是
的一元,
则称g 为 权(weight) ω的. 我们可分解一Kac–Moody 代数成其幂空间,则嘉当子代数
的幂为零,ei的幂为α*i,而fi的幂为−α*i。若二幂特征向量的李括号非零,则其幂是二幂之和。(若
) 则
一条件即指 α*i 都是简单根。
我们可分解广义嘉当矩阵 C 成矩阵积 DS, 其中 D 是 正对角矩阵, S 是 对称矩阵。
然则有三种可能:
有限维 单李代数 (S 正定)
是 仿射李代数 (S 正半定)
- 双曲 (S 不定)
S 不可能 负定 或 负半定 因其对角元皆正.
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