在数学中,双曲线(英语:hyperbola;希腊语:ὑπερβολή,意思是超过、超出)是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点(称为焦点)的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是
的两倍,这里的
是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。
还称为双曲线的半实轴。焦点位于贯轴上,它们的中间点称为中心。
从代数上说,双曲线是在笛卡尔平面上由如下方程定义的曲线
![{\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a694f3a0805f2f11868a2a69413866d64170409b)
使得
,这里的所有系数都是实数,并存在定义在双曲线上的点对
的多于一个的解。
在笛卡尔坐标平面上,两个互为倒数的变量的图像是双曲线。
共轭单位直角双曲线
上面已经列出:
- 平面切直角圆锥面的两半的交截线。
- 与两个固定点(称为焦点)距离差为常数的点的轨迹。
- 到一个焦点的距离和到一条直线(称为准线)的距离的比例是大于
的常数的点的轨迹。这个常数称为双曲线的离心率。
双曲线由分开两个焦点的两个分离的称为臂或分支的曲线构成。随着到焦点的距离的变大,双曲线就越逼近称为渐近线的两条线。渐近线交叉于双曲线的中点,并对于东西开口的双曲线有斜率
,对于北南开口的双曲线有斜率
。
双曲线有个性质,出自一个焦点的射线反射于双曲线后看起来像是出自另一个焦点。
双曲线的一个特殊情况是“等轴”或“直角”双曲线,它的渐近线交于直角。以坐标轴作为渐近线的直角双曲线由方程
给出,这里的
是常数。
如果对双曲线方程交换
和
,得到它的共轭双曲线。共轭双曲线有同样的渐近线。
中心位于
的左右开口的双曲线:
![{\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa593fbc93a499a085f2f444748603862c05c194)
中心位于
的上下开口的双曲线:
![{\displaystyle {\frac {\left(y-k\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(x-h\right)^{2}}{b^{2}}}=1}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0102ba9f789577a685c8a2a653de881e5b885781)
实轴贯穿双曲线的中心并交双曲线两臂于它们的顶点。焦点位于双曲线实轴的延长线上。虚轴贯穿双曲线中点并垂直于实轴。
在两个公式中,
是半实轴(在双曲线两臂之间沿着实轴测量的距离),而
是半虚轴。
如果用双曲线的两个顶点的切线交渐近线形成一个矩形,在切线上的两边的长度是
,平行于实轴的两边的长度是
,注意
可以大于
。
如果计算从双曲线上任意准线上的点到每个焦点的距离,这两个距离的差的绝对值总是
。
直角双曲线
的图像。
离心率给出自:
![{\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6925258c1847fdbc02e34004d0f7436afd38fc22)
左右开口的双曲线的焦点是:
,其中c给出自
。
上下开口的双曲线的焦点是:
,其中c给出自
。
等轴双曲线的实轴与虚轴长相等,即
且
,此时渐近线方程为
(无论焦点在
轴还是
轴)。
单位双曲线属于等轴双曲线,且半实轴和半虚轴的长均为
,即
,满足方程:
或
。
对于以直线
和直线
为渐近线的直角双曲线:
![{\displaystyle (x-h)(y-k)=c}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8370cf48eb5ae5c0591bcb146e259c9f9e4307d9)
这种双曲线最简单的例子是:
![{\displaystyle y={\frac {m}{x}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/150a5ab7bfc7d231ee4d81c76eb27fca21d5c501)
当双曲线
的实轴是双曲线
的虚轴,且双曲线
的虚轴是双曲线
的实轴时,称双曲线
与双曲线
为共轭双曲线。若
的方程为
![{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b6d87e3798ff72cac48672d3a0aec41442b7e4b)
则
的方程为
![{\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a510735be1c0ae12c20a25e9ef62fd08eb27d817)
其特点为:
- 共渐近线,与渐近线平行的直线和双曲线有且只有一个交点。
- 焦距相等。
- 两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于
。
左右开口的双曲线:
![{\displaystyle r^{2}=a^{2}\sec {2}\theta }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5be574ccfaf06f2b311793cb5e67e47da5b0c3d)
上下开口的双曲线:
![{\displaystyle r^{2}=-a^{2}\sec {2}\theta }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/771e1fdc5f60844454a5cf6b300eda3a3c5a444a)
上右下左开口的双曲线:
![{\displaystyle r^{2}=a^{2}\csc {2}\theta }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2e725e05c3290893f4b9f2914d00fcf55c824d6)
上左下右开口的双曲线:
![{\displaystyle r^{2}=-a^{2}\csc {2}\theta }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b043a79c2d229f578121af31ad094f0b4fa8b517)
在所有公式中,中心在极点,而
是半实轴和半虚轴。
如同正弦和余弦函数给出椭圆的参数方程,双曲函数给出双曲线的参数方程。
左右开口的双曲线:
![{\displaystyle {\begin{cases}x=a\sec {t}+h\\y=b\tan {t}+k\\\end{cases}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95a89ce4d8b475dc7b5d06190c0997f18fee3b8)
或
![{\displaystyle {\begin{cases}x=a\cosh {t}+h\\y=b\sinh {t}+k\\\end{cases}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db3ed48dc87712b0f1e3f20c62273eefa9f8e760)
上下开口的双曲线:
![{\displaystyle {\begin{cases}x=b\tan {t}+h\\y=a\sec {t}+k\\\end{cases}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f271c18f8755b60f07ee7757ad2a76dc13bf52)
或
![{\displaystyle {\begin{cases}x=b\sinh {t}+h\\y=a\cosh {t}+k\\\end{cases}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb6803d9225c5ef8ade936e3cd9c0f35bd4f6ec)
在所有公式中,
是双曲线的中点,
是半实轴而
是半虚轴。
焦点在
轴:
焦点在
轴:
焦线平行于
轴:
焦线平行于
轴:
当
时,表示双曲线。其中
为焦点到准线距离,
为弦与
轴夹角。