局部域
外观
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在数学上,局部域是一类特别的域,它有非平凡的绝对值,此绝对值赋予的拓扑是局部紧的。局部域可粗分为两类:一种的绝对值满足阿基米德性质(称作阿基米德局部域),另一种的绝对值不满足阿基米德性质(称作非阿基米德局部域)。在数论中,数域的完备化给出局部域的典型例子。
非阿基米德局部域
[编辑]设为非阿基米德局部域,而为其绝对值。关键在下述对象:
上述对象与赋值环的构造相呼应;事实上,可证明必存在实数及离散赋值,使得
- .
可取唯一的使得为满射,称之为正规化赋值。
从此引出非阿基米德局部域的另一个等价定义:一个域,带离散赋值,使得成为完备的拓扑域,而且剩余域有限。
这类局部域的行为可由局部类域论描述。
分类
[编辑]局部域的完整分类如次:
文献
[编辑]- Milne, James, Algebraic Number Theory.
- Serre, Jean-Pierre. Corps locaux. Hermann. 1968.
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