算术平方根的数学表示式
在数学中,一个数
的平方根
指的是满足
的数,即平方结果等于
的数。例如,4和-4都是16的平方根,因为
。
任意非负实数
都有唯一的非负平方根,称为算术平方根或主平方根(英语:principal square root),记为
,其中的符号
称作根号。例如,9的算术平方根为3,记作
,因为
并且3非负。被求平方根的数称作被开方数(英语:radicand),是根号下的数字或者表达式,即例子中的数字9。
正数
有两个互为相反数的平方根:正数
与负数
,可以将两者一起记为
。
负数的平方根在复数系中有定义。而实际上,对任何定义了开平方运算的数学对象都可考虑其“平方根”(例如矩阵的平方根)。
- 在MicroSoft的试算表软件Excel与大部分编程语言中以 "sqrt()"表示求算术平方根。
耶鲁大学的巴比伦藏品YBC 7289是一块泥板,制作于前1800年到前1600年之间。泥板上是一个画了两条对角线正方形,标注了
的六十进制数字 1;24,51,10。[1]十六进制的 1;24,51,10 即十进制的 1.41421296,精确到了小数点后5位(1.41421356...)。
莱因德数学纸草书大约成书于前1650年,内容抄写自更早年代的教科书。书中展示了埃及人使用反比法求平方根的过程。[2]
古印度的《绳法经》大约成书于前800年到前500年之间,书中记载了将2的平方根的计算精确到小数点后5位的方法。
古希腊的《几何原本》大约成书于前380年,书中还阐述了如果正整数不是完全平方数,那么它的平方根就一定是无理数——一种无法以两个整数的比值表示的数(无法写作m/n,其中m和n是整数)。[3]
中国的《书》成书于汉朝(约前202年到前186年之间),书中介绍了使用盈不足术求平方根的方法。
古代未有划一的平方根符号时,人们通常使用他们语言内开方这个字的首个字母的变型作为开方号。
中世纪时,拉丁语中的latus(正方形边)的首个字母“L”被不少欧洲人采用;亨利·布里格斯在其著作《Arithmetica Logarithmica》中则用横线当成latus的简写,在被开方的数下画一线。
最有影响的是拉丁语的radix(平方根),1220年Leconardo在《Practica geometriae》中使用℞(R右下角的有一斜划,像P和x的合体);⎷(没有上面的横划)是由克里斯托费尔·鲁登道夫在1525年的书Coss首次使用,据说是小写r的变型;后来数学家笛卡尔给其加上线括号,但与前面的方根符号是分开的(即“⎷‾”),因此在复杂的式子中它显得很乱。直至18世纪中叶,数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成,并将根指数写在根号的左上角,以表示高次方根(当根指数为2时,省略不写),从而形成了现在人们熟知的开方运算符号
。
函数
图,半抛物线与垂直准线。
的平方根亦可用指数表示,如:
![{\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc21e95c62d91b174b2a3d734ad06e046919e449)
的绝对值可用
的算数平方根表示:
![{\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}\left(={\begin{cases}x&(x\geq 0)\\-x&(x<0)\end{cases}}\right)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60eb74e24a159278a3a3e8802d19ca94a174d7c)
若正整数
是平方数,则其平方根是整数。若正整数
不是平方数,则其平方根是无理数。
对于正数
、
,以下式成立:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}&={\sqrt {xy}}\\{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}&={\sqrt {\frac {x}{y}}}\end{aligned}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d9792194237c76e1db95239136a148a22797a9)
正数和负数的平方都是正数,0的平方是0,因此负数没有实数平方根。然而,我们可以把我们所使用的数字集合扩大,加入负数的平方根,这样的集合就是复数。首先需要引入一个实数集之外的新数字,记作
(也可以记作
,比如电学场景中
一般表示电流),称之为虚数单位,定义即为
,故
是-1的平方根,而且
,所以
也是-1的平方根。通常称-1的算术平方根是
,如果
是任意非负实数,则
的算术平方根就是:
![{\displaystyle {\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/256fc4aeac40bb57320642c5564e5735199dd526)
例如-5的平方根有两个,它们分别为
和
。
之所以等式右侧(包括其对应的负值)是
的算术平方根,是因为:
![{\displaystyle (i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/158e5a5de426265a7c5a831cc5e391325c7a338b)
负数的两个平方根为一对共轭的纯虚数。
对于负数
、
,以下式成立:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}&={\sqrt {-x}}\,i\times {\sqrt {-y}}\,i={\sqrt {xy}}\,i^{2}=-{\sqrt {xy}}\\{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}&={\frac {{\sqrt {-x}}i}{{\sqrt {-y}}i}}={\sqrt {\frac {-x}{-y}}}={\sqrt {\frac {x}{y}}}\end{aligned}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8251ec8a190d5d2889dc5cd025cf7681beeee20b)
复数平面中,
的两个平方根
虚数
的算术平方根可以根据以下公式计算:
![{\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}+i{\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f385cc49a4503ce72ba10807dd4a98b57e6b195)
这个公式可以通过用代数方法推导,只需找到特定的实数
和
,满足
![{\displaystyle {\begin{aligned}i&=(a+bi)^{2}\\&=a^{2}+2abi-b^{2}\end{aligned}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a637db1a4010c34b92da34b725caeb554573760)
就可以得到方程组
![{\displaystyle {\begin{cases}2ab=1\\a^{2}-b^{2}=0\end{cases}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8988839e0f5c47007a7621e351f5d1658b59aaec)
的解:
![{\displaystyle a=b=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f071ebbff8bb42ff4db288929a1a1d4da59673cf)
其中,算术平方根即为
![{\displaystyle a=b={\frac {\sqrt {2}}{2}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7d2742273cb39bd3cff598f13e52a764579171c)
这个公式还可以通过棣莫弗公式得到,设
![{\displaystyle i=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9953f8002884039314461306d40b398751c2e0e5)
就可以推出
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\left[\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right]^{\frac {1}{2}}\\&=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}+i{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\end{aligned}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f86b3b7203a50d96454199f6b6b0ca30d029303)
极坐标下,复数
的几个方根
对于任何一个非零的复数
都存在两个复数
使得
。
首先,我们将复数
看作是平面上的点,即笛卡尔坐标系中的
点。这个点也可以写作极坐标的
,其中
,是该点到坐标原点的距离,
则是从原点到该点的直线与实数坐标轴(
轴)的夹角。复分析中,通常把该点记作
。如果
![{\displaystyle z=re^{i\varphi },-\pi <\varphi \leq \pi }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b503fb9a34cfca1198fca478ee130982ac4c12)
那么我们将
的算术平方根定义为:
![{\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{\frac {i\varphi }{2}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abbc8e02d775ee11153d1b017a4fff17312570af)
因此,平方根函数除了在非正实数轴上以外是处处全纯的。
的泰勒级数也适用于复数
。
上面的公式还可以用三角函数的形式表达:
![{\displaystyle {\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9654238ad2d7347c9ccb86c5b0d670b31c1efd12)
如果使用笛卡尔坐标的形式表达复数 z,其算术平方根可以使用如下公式:[4][5]
![{\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {\frac {|z|+\Re (z)}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {|z|-\Re (z)}{2}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b1c4487834a52c5d0440965acd4fd6f9c67ac0)
其中,方根虚部的符号与被开方数虚部的符号相同(为0时取正);主值实部永远非负。
在虚数里,平方根函数的值不是连续的,以下等式不一定成立:
![{\displaystyle {\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69736e0fca5366225d71b03cbe0ae84ef8d7d9bc)
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {w}}{\sqrt {z}}}={\sqrt {\frac {w}{z}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32905bc5f10ca0ce6afeea72186f2ac85d9d91ea)
![{\displaystyle {\sqrt {z^{*}}}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de0bb8f7c38b7810de19ebe31b599569de31b15)
所以这是错误的:
![{\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/208ed50475bd6661822dc3df5288d2d27ca87044)
例:若
,
数学史中,最重要的平方根可以说是
,它代表边长为1的正方形的对角线长,是第一个公认的无理数,也叫毕达哥拉斯常数,其值到小数点14位约为1.4142135623731。
是无理数,可由归谬法证明:
- 设
为有理数,可表示为
,其中
、
为互素之正整数。
- 因为
,故
是2的倍数,
也是2的倍数,记为
,其中
为正整数。
- 但是
,故
,
是2的倍数,
也是2的倍数。
- 依上两式,
、
都是2的倍数,和
、
为互素之正整数的前题矛盾。依归谬法,得证
不是有理数,即
是无理数。
。
注意,6 的素因数分解为 2 × 3,不能写成某个数的平方,因此
就是最简结果
。
北宋贾宪增乘开平方法
《九章算术》和《孙子算经》都有筹算的开方法。宋代数学家贾宪发明释锁开平方法、增乘开平方法;明代数学家王素文,程大位发明珠算开平方法,而朱载堉《算学新说》首创用81位算盘开方,精确到25位数字[6]。
长除式算平方根的方式也称为直式开方法,原理是
。
- 首先将要开平方根的数从小数点分别向右及向左每两个位一组分开,如98765.432内小数点前的65是一组,87是一组,9是一组,小数点后的43是一组,之后是单独一个2,要补一个0而得20是一组。如1 04.85 73得四组,顺序为1' 04. 85' 73'。
- 将最左的一组的数减去最接近又少于它的平方数,并将该平方数的开方(应该是个位数)记下。
- 将上一步所得之差乘100,和下一组数加起来。
- 将记下的数乘20,然后将它加上某个个位数,再乘以该个个位数,令这个积不大于但最接近上一步所得之差,并将该个个位数记下,且将上一步所得之差减去所得之积。
- 记下的数一次隔两位记下。
- 重复第3步,直到找到答案。
- 可以在数字的最右补上多组的00'以求得理想的精确度为止。
下面以
为例子:
四舍五入得答案为14.14。
事实上,将算法稍作改动,可以开任何次方的根,详见n次方算法。
利用高精度长式除法可以计算出1至20的平方根如下:
![{\displaystyle {\sqrt {1}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7bf2189fbb14a70abb4d7e3f2aedec1f3e787e6) |
![{\displaystyle =\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2219e60aaf3efae72388ea5a38538ff64f0ce00) |
1
|
![{\displaystyle {\sqrt {2}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4afc1e27d418021bf10898eb44a7f5f315735ff) |
![{\displaystyle \approx }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
|
![{\displaystyle {\sqrt {3}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b19c09494138b5082459afac7f9a8d99c546fcd) |
![{\displaystyle \approx }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
|
![{\displaystyle {\sqrt {4}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ddc524346bd183be9f2c63f906d73910844ef1d) |
![{\displaystyle =\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2219e60aaf3efae72388ea5a38538ff64f0ce00) |
2
|
![{\displaystyle {\sqrt {5}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b78ccdb7e18e02d4fc567c66aac99bf524acb5f) |
![{\displaystyle \approx }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
|
![{\displaystyle {\sqrt {6}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a857de6bca2591cfad08e4378634825b6be66a01) |
![{\displaystyle \approx }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
|
![{\displaystyle {\sqrt {7}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ca16e62fc47de4252d87457029895a954d91a42) |
![{\displaystyle \approx }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
|
![{\displaystyle {\sqrt {8}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74655655dfdd370266c9238e7ba06ff9cc9d43f9) |
![{\displaystyle \approx }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
|
![{\displaystyle {\sqrt {9}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac20efa072b0e9082e65122a4104a02f4a746986) |
![{\displaystyle =\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2219e60aaf3efae72388ea5a38538ff64f0ce00) |
3
|
![{\displaystyle {\sqrt {10}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd7409b0ddbc1f90280265e7bc95dd20626ebf1b) |
![{\displaystyle \approx }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
|
![{\displaystyle {\sqrt {11}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b713509221c99940e3bfc0eeb7ddafe6ec870ec) |
![{\displaystyle \approx }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
|
![{\displaystyle {\sqrt {12}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c878efdf227cf70df28aa7d43cea0069e6f515e9) |
![{\displaystyle \approx }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
|
![{\displaystyle {\sqrt {13}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a95228048246821171e1789114839cbd00978027) |
![{\displaystyle \approx }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
|
![{\displaystyle {\sqrt {14}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19763bff915d190ddb1eb7b8dd9beb7ede194bff) |
![{\displaystyle \approx }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
|
![{\displaystyle {\sqrt {15}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e343ba1fba1d0222e6d6b02e264aec5717548f6) |
![{\displaystyle \approx }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
|
![{\displaystyle {\sqrt {16}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/513d1ff9b2ee38ab35caf25b67c82f17a6f99a9e) |
![{\displaystyle =\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2219e60aaf3efae72388ea5a38538ff64f0ce00) |
4
|
![{\displaystyle {\sqrt {17}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d090c5c91c92d2926ceeece2133403c09bdf4dc) |
![{\displaystyle \approx }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
|
![{\displaystyle {\sqrt {18}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a72a94abb379143c58c86b6db1eddbba27a9b5b) |
![{\displaystyle \approx }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
|
![{\displaystyle {\sqrt {19}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a05218b63c0a1f5fb64f9bdd886e04ec9d1f3c) |
![{\displaystyle \approx }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
|
![{\displaystyle {\sqrt {20}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d32ce4e3e5160ec9e305bedcdd1fbbdd775c9e) |
![{\displaystyle \approx }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276
|
如果要求
的平方根,选取
![{\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {S}{x_{n}}}\right)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856e2cc57765274ae3f7e80b2a0c0c274cae2003)
例子:求
至6位有效数字。
![{\displaystyle x_{0}=3^{6}=729.000\,\!}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f7e729729f59e7043e69945f0ea77b39ba1c0bf)
![{\displaystyle x_{1}={\frac {1}{2}}\left(x_{0}+{\frac {S}{x_{0}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(729.000+{\frac {125348}{729.000}}\right)=450.472}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494afedc8a66d2d7d37ecac41bef3a124f0d6907)
![{\displaystyle x_{2}={\frac {1}{2}}\left(x_{1}+{\frac {S}{x_{1}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(450.472+{\frac {125348}{450.472}}\right)=364.365}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3de23adf43a880d5e083e404b80bec3fed8e34bd)
![{\displaystyle x_{3}={\frac {1}{2}}\left(x_{2}+{\frac {S}{x_{2}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(364.365+{\frac {125348}{364.365}}\right)=354.191}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d7304d3c0026dc9755ac41f62282f7535ad1633)
![{\displaystyle x_{4}={\frac {1}{2}}\left(x_{3}+{\frac {S}{x_{3}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(354.191+{\frac {125348}{354.191}}\right)=354.045}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bba61b4866b035c837260aaa79c2aa85c9b098ad)
![{\displaystyle x_{5}={\frac {1}{2}}\left(x_{4}+{\frac {S}{x_{4}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(354.045+{\frac {125348}{354.045}}\right)=354.045}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec508225a99d1c2f03dfafcd3b3c6aec86bca3f)
因此
.
平方根可以简便地用连分数的形式表示,关于连分数请见连分数,其中1至20的算术平方根分别可用连分数表示为:
![{\displaystyle {\sqrt {1}}=1}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5509eac62c3da5cefd034b3ca1f2b2f5f2e9c3ca)
![{\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2...]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc9b02798ffa8c81bf9bdcbc2f09e1e0aee4422)
![{\displaystyle {\sqrt {3}}=[1;1,2,1,2...]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df0c6eb26d9a8ea8fc7536e85d506c3970d25d3b)
![{\displaystyle {\sqrt {4}}=2}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d82f5e32bfe3dfb14b13ed6b632b48b063acd77)
![{\displaystyle {\sqrt {5}}=[2;4,4,4,4...]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3db0b9a3b70d460c26600c2a48038f4044f30bf2)
![{\displaystyle {\sqrt {6}}=[2;2,4,2,4...]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a77c30771fc26826e8d2c5e7bed3f3a41850f47)
![{\displaystyle {\sqrt {7}}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4...]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07f8ee5f5ca1b5e7fef75103bacd0ffbc18ab597)
![{\displaystyle {\sqrt {8}}=[2;1,4,1,4...]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f94114159ad39146dbee0db04f66f5fc6c5e15ed)
![{\displaystyle {\sqrt {9}}=3}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44820d293d56e49db705b37ad756363767077121)
![{\displaystyle {\sqrt {10}}=[3;6,6,6,6...]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/849b4bef93de145e137f648999d6d3c3fab2db5e)
![{\displaystyle {\sqrt {11}}=[3;3,6,3,6...]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf1bddf4ae2a7b8fa8a47e8996cd6f109ddeb0ab)
![{\displaystyle {\sqrt {12}}=[3;2,6,2,6...]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f86b2454a2b20534e09dbe888b7228db1d8a44)
![{\displaystyle {\sqrt {13}}=[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6...]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1270c1d403e3d9059ab4cf2c146ecb36c3dc08b0)
![{\displaystyle {\sqrt {14}}=[3;1,2,1,6,1,2,1,6...]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d9a7e23c50b6c14119333421f27b7381250c7fe)
![{\displaystyle {\sqrt {15}}=[3;1,6,1,6...]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1883e99932565fc6b8e5a86a3934b130d3cb09be)
![{\displaystyle {\sqrt {16}}=4}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c0d55c700c3a4b7cc23296f9a6c913fec320464)
![{\displaystyle {\sqrt {17}}=[4;8,8,8,8...]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/099316b44578e9592e1425571402bb24e76664fe)
![{\displaystyle {\sqrt {18}}=[4;4,8,4,8...]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a789b740adf75a585e1a4e3bb5d85a2fc23056)
![{\displaystyle {\sqrt {19}}=[4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8...]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7cd3c48024a8f78a4b7ce606d442893d273e665)
![{\displaystyle {\sqrt {20}}=[4;2,8,2,8...]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8ab7596515455a8476ccbcd6827283d0eab5ed0)
连分数部分均循环,省略号前为2或4个循环节。
巴比伦求平方根的算法实际上很简单:(假设要求一个数N的平方根)
- 预测一个平方根
,初始另一个值
,且![{\displaystyle xy=N}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe65ea55977f9d8d0669eeef51fd37df5213c2d)
- 求预测值与初始值的均值:
, ![{\displaystyle y={\frac {N}{x}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc9957500cd702722de4d5a76789794114a345e)
- 比较
和
的差值是否达到精度,如果无,继续步骤
这个方法是从佩尔方程演变过来的,它通过不断减去奇数来求得答案。
给定线段AB和1,求一条长为
的线段。
- 画线AB,延长BA至C使
![{\displaystyle AC=1}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbe81790332736420b0c659bb1294aaab8ce747f)
- 以BC的中点为圆心,OC为半径画圆
- 过A画BC的垂直线,垂直线和圆弧交于D,AD即为所求之长度
将整个过程搬到直角座标上,已知AC=1,设
- O=
![{\displaystyle (0,0)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d630d3e781a53b0a3559ae7e5b45f9479a3141a)
- AB=
![{\displaystyle n}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
- 直径为BC的圆就是
(圆的方程式:
)(其中
表示半径。)
- 将
(A,D所在的x座标)代入上面的方程式
![{\displaystyle \left({\frac {n+1}{2}}-1\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e860f9d7377d9c67676907b15d275a4b3793ca)
- 解方程,得
。
另也可参见射影定理。
射影定理(图)
- ^ Analysis of YBC 7289. ubc.ca. [19 January 2015]. (原始内容存档于2020-03-12).
- ^ Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: Springer-Verlag.
- ^ Heath, Sir Thomas L. The Thirteen Books of The Elements, Vol. 3. Cambridge University Press. 1908: 3.
- ^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. Courier Dover Publications. 1964: 17. ISBN 0-486-61272-4. (原始内容存档于2016-04-23). , Section 3.7.27, p. 17 互联网档案馆的存档,存档日期2009-09-10.
- ^ Cooke, Roger. Classical algebra: its nature, origins, and uses. John Wiley and Sons. 2008: 59. ISBN 0-470-25952-3. (原始内容存档于2016-04-23).
- ^ 劳汉生《珠算与实用算术》ISBN 7-5375-1891-2/O