施泰纳-莱穆斯定理
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Steiner-Lehmus.png/200px-Steiner-Lehmus.png)
施泰纳-莱穆斯定理(Steiner–Lehmus theorem)是平面几何的一个定理:两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形。该命题看似显而易见,但直到19世纪上半叶才得到明确的几何证明,随后成为平面几何领域最受欢迎的证明题之一。该定理以德国数学家C·L·莱穆斯和瑞士数学家雅各布·施泰纳命名,两人在通信中最早提出和解决了该问题。
施泰纳-莱穆斯定理的结论并不能推广到外角平分线上。也就是说,两条外角平分线相等的三角形不一定是等腰三角形。
历史
[编辑]在平面几何中,“等腰三角形的两条内角平分线相等”,是一个非常容易得到的结论。该命题的逆命题,“两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形”,则没有看上去那么容易证明。1840年,德国数学家C·L·莱穆斯写信给瑞士数学家、几何学权威雅各布·施泰纳,询问是否能给出一个纯几何的证明。施泰纳解决了问题,不过直到1844年才公开发表。第一个公开证明来自法国路易大帝中学的学生鲁热万(Rougevin),发表在1842年的《新数学年鉴》上。1850年,莱穆斯也给出了自己的证明。[1][2][3][4][5]
19世纪40年代起的一百多年里,关于施泰纳-莱穆斯定理的几何证明大量涌现,有上百个之多。绝大多数证明都依赖于反证法,即先假定两内角平分线相等的三角形不等腰,其中一个内角大于另一个,然后推出矛盾的结论。于是,关注点变成了,施泰纳-莱穆斯定理是否有“直接”的几何证明法,以及怎样的证明才算得上是“直接”。不过也有人认为,拒绝反证法的“纯粹主义”并没有什么意义。[5]
证明
[编辑]反证法
[编辑]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/%E6%96%BD%E6%B3%B0%E7%BA%B3-%E8%8E%B1%E7%A9%86%E6%96%AF%E5%AE%9A%E7%90%86%E8%AF%81%E6%98%8E_01.svg/220px-%E6%96%BD%E6%B3%B0%E7%BA%B3-%E8%8E%B1%E7%A9%86%E6%96%AF%E5%AE%9A%E7%90%86%E8%AF%81%E6%98%8E_01.svg.png)
在 中,两条内角平分线 。
假设 ,令 。
在线段 上取点 ,使 , 交 于点 。
结论与假设矛盾,故假设不成立。故 。[5]
直接证明
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在 中,两条内角平分线 。记 , 。
做直线 ,使 。做直线 ,使 。
该证明方法由F. G. Hesse于1874年发表。不过,该证明方法所用到的一些构造和定理,如“三角形内角和为180度”,本身需要用反证法去证明,因此一些纯粹主义者认为这一证明还是不够直接。[6]
代数证明
[编辑]利用角平分线长公式,可以简洁地证明施泰纳-莱穆斯定理。[7]
化简后得到:
连乘的其他各项都为正数,从而推出:
外角平分线问题
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施泰纳-莱穆斯定理的结论并不能推广到外角平分线上。也就是说,两条外角平分线相等的三角形不一定是等腰三角形。一个常举的反例是三个内角分别为132度、36度和12度的三角形,因为这个三角形的两条外角平分线恰等于一条边,易于证明。[8]
进一步地,数学家们尝试证明,所有两条外角平分线相等的不等腰三角形的共性。[8][9]中国数学家蒋声指出,满足下列条件的三角形都是有两条外角平分线相等的不等腰三角形:[10]
“两条外角平分线相等的三角形是等腰三角形”是假命题,不过较弱的命题是成立的:三角形的两个角的外角平分线相等,若第三个角是最大或最小的角,则该三角形是等腰三角形;不然,则不是等腰三角形。[11]
参考文献
[编辑]- ^ Rougevin. Démonstration du théorème 1 (page 57) (PDF). Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale. 1842, 1: 138-139 [2023-06-11]. (原始内容存档 (PDF)于2023-06-11) (法语).
- ^ Steiner, J. Elementare Lösung einer Aufgabe über das ebene und sphärische Dreieck. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1844, 28: 375-379 [2023-06-11]. (原始内容存档于2023-06-11) (德语).
- ^ M'Bride, J. “The equal internal bisectors theorem, 1840-1940. … Many solutions or none?”: A centenary account (PDF). Edinburgh Mathematical Notes. 1943, 33: 1-13 [2023-06-11]. doi:10.1017/S0950184300000021. 原始内容存档于2019-05-02 (英语).
- ^ Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. Geometry Revisited (PDF). Washington, D.C.: The Mathematical Association of America. 1967: 14-16 [2023-06-11]. ISBN 0-88385-619-0. (原始内容存档 (PDF)于2023-01-28) (英语).
- ^ 5.0 5.1 5.2 Sauvé, Léo. The Steiner-Lehmus theorem (PDF). Eureka. 1976, 2: 19-24 [2023-06-17]. (原始内容存档 (PDF)于2022-04-19) (英语).
- ^ Gardner, Sherri R. A Variety of Proofs of the Steiner-Lehmus Theorem (Master of Science论文). East Tennessee State University: 19. 2013 [2023-06-25]. (原始内容存档于2023-06-27) (英语).
- ^ Trigg, Charles W. Mathematical Quickies. New York: Dover Publications. 1985: 103 [1967]. ISBN 0-486-24949-2 (英语).
- ^ 8.0 8.1 Trigg, Charles W. Problem 862, Solution I (PDF). Mathematics Magazine. 1974, 1 (1): 52-53 [2023-06-11]. doi:10.2307/2688766. (原始内容存档 (PDF)于2022-02-13) (英语).
- ^ 吴文俊; 吕学礼. 分角线相等的三角形:初等几何机器证明问题. 北京: 人民教育出版社. 1985. ISBN 9780070120723.
- ^ 蒋声. 有两条外角平分线相等的不等边三角形. 中等数学. 1989, (01): 12-13.
- ^ 叶余本. 続.二等辺三角形の性質の一つの研究. 日本数学教育学会志. 1984, 66 (11): 45-49 [2023-06-11]. doi:10.32296/jjsme.66.11_45. (原始内容存档于2023-06-11).